Liit­funktsioon

Praktikas on mõni­kord nii, et vaadeldav suurus ei sõltu teisest suurusest mitte otseselt, vaid mingi kolmanda suuruse kaudu. Näiteks kauba müügi­hind sõltub kauba oma­hinnast kauba hulgi­hinna kaudu, millega see kauplusse osteti.

Olgu antud funktsioon y=\sqrt{3x-1}. Et arvutada funktsiooni väärtust kohal x, selleks tuleb 1) leida 3x – 1; 2) võtta saadud tulemusest ruut­juur. Teiste sõnadega, kõige­pealt tuleb leida funktsiooni g (x) = 3x – 1 väärtus ja see­järel funktsiooni y=\sqrt{g\left(x\right)} väärtus. Seega võib funktsiooni y=\sqrt{3x-1} vaadelda funktsioonina, mis on moodustatud funktsioonidest u = g (x) = 3x – 1 ja f\left(u\right)=\sqrt{u}. Öeldakse, et funktsioon y=\sqrt{3x-1} on liit­funktsioon ja seda võib üles kirjutada järgmiselt:

y=f\left(u\right)=\sqrt{u} ja u=g\left(x\right)=3x-1 ehk y=f\left[g\left(x\right)\right].

Selle funktsiooni puhul on tegemist kahe­kordse vastavusega: x → u → y. See tähendab, et funktsiooni väärtus y pole argumendi x kaudu määratud mitte otseselt, vaid vahe­pealse muutuja u kaudu.

Olgu antud funktsioonid y = f (u) ja u = g (x). Nendest moodustatud funktsiooni y = f [g (x)] nimetatakse liit­funktsiooniks.

Sel juhul peab muidugi olema täidetud tingimus: funktsiooni u = g (x) väärtused peavad kuuluma funktsiooni y = f (u) määramis­piirkonda.

Piltlikult on liit­funktsiooni y = f [g (x)] kujutatud joonisel 2.66.

Joon. 2.66

Näide 1.

Olgu f (u) = u2 ja u = g (x) = x – 5, siis funktsiooni y = f [g (x)] võime esitada kujul y = (x – 5)2. Funktsioon f on välimine ja funktsioon g sisemine funktsioon.

Näide 2.

Olgu antud funktsioon y = (2x3 – 3)5. See on liit­funktsioon, kus viiendasse astmesse on tõstetud funktsioon u = g (x) = 2x3 – 3. Funktsiooni y = (2x3 – 3)5 saab esitada vahe­pealse muutuja u kaudu kujul y = f (u) = u5. Seega võib funktsiooni y = (2x3 – 3)5 kirjutada kahe funktsiooni kaudu järgmiselt: y = u5, u = 2x3 – 3. Siin on funktsioon f välimine ja funktsioon g sisemine funktsioon.

Näide 3.

Olgu antud liitfunktsioon y=\sqrt{4-x^2}. Selle funktsiooni võime esitada juur­funktsiooni ja ruut­funktsiooni kaudu järgmiselt: y=\sqrt{u}, u=4-x^2. Leiame selle funktsiooni määramis­piirkonna. Funktsioon y = f [g (x)] on määratud, kui funktsiooni u = g (x) väärtused kuuluvad funktsiooni f\left(u\right)=\sqrt{u} määramis­piirkonda. Viimane funktsioon on määratud, kui u ≥ 0 ehk kui 4 – x2 ≥ 0. Viimase võrratuse lahendiks on –2 ≤ x ≤ 2. Seega funktsiooni u=\sqrt{4-x^2} määramis­piirkond X = [–2; 2].

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 505. Liit­funktsiooni moodustamine

y=\sqrt[3]{u}, u=3x^2-5
y = 

y=u^4, u=1-x
y = 

y=u^{100}, u=2x+7
y = 

y=u^{\frac{1}{3}}, u=x^3-x^2
y = 

u=x-6, y=u^{-2}
y = 

u=x-6, y=\sqrt{u}
y = 

Ülesanne 506. Liit­funktsiooni välimine ja sisemine funktsioon

Liit­funktsioon

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

Määramis­piirkond

y=\left(3x-1\right)^4

X = 

y=\sqrt{x-3}

X = 

y=\left(x^2-4\right)^3

X = 

Liit­funktsioon

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

Määramis­piirkond

y=\left(4x^2+5\right)^{-2}

X = 

y=\sqrt[4]{x^2-1}

X = 

y=\sqrt[3]{x^6+x}

X = 

Liit­funktsioon

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

Määramis­piirkond

y=\left(x^3-x+1\right)^{\frac{1}{2}}

X = 

y=\tan2x

X = 

y=5-\sqrt{6x-1}

X = 

Ülesanne 507. Liit­funktsiooni moodustamine

On antud funktsioonid f\left(x\right)=2x+5 ja g\left(x\right)=\sqrt{x}. Moodustage funktsioon y=f\left[g\left(x\right)\right] ja funktsioon h=g\left[f\left(x\right)\right], s.t esimesel juhul on funktsioon f välimiseks, aga teisel juhul sisemiseks funktsiooniks.

y = 

h = 

Ülesanne 508. Liit­funktsiooni moodustamine

f (x)

g (x)

f [g (x)]

g [f (x)]

x^2

\sqrt{x-1}

x^8

2x^4+1

x^{\frac{1}{3}}

2x^3+4

\sqrt{4-x^2}

x^2

Ülesanne 509. Liit­funktsiooni moodustamine

f (x)

f –1(x)

f [ f –1(x)]

f –1[ f (x)]

\sqrt{x+1}

2x-1

3-2x

Seotud sisu
Muud tegevused