Siinusfunktsioon

Esmakordselt selgitasime juba X klassis, et igale nurgale vastab üks siinuse väärtus. Eelmises peatükis näitasime, et igale reaalarvule x saab vastavusse seada siinuse väärtuse sin x. Tähistame viimase tähega y ja vaatame suurust x muutujana. Siis võrdus y = sin x seab reaalarvule x vastavusse reaalarvu y, s.t defineerib funktsiooni, mida nimetatakse siinusfunktsiooniks.

Eelöeldust järeldub, et siinusfunktsiooni y = sin x määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R, muutumispiirkonnaks aga lõik [–1; 1], s.t –1 ≤ sin x ≤ 1 ehk |sin x| ≤ 1.

Seosest sin(–x) = –sin x järeldub, et

siinusfunktsioon on paaritu funktsioon.

Järelikult,

siinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.

Seega võime y = sin x graafiku konstrueerida esialgu vaid argumendi positiivsete väärtuste korral ja siis, sümmeetriale tuginedes, kogu määramispiirkonna ulatuses.

Seosest sin(x + n · 2π) = sin x, kus n ∈ Z, järeldub, et sin x väärtused korduvad iga 2π järel. Siis võib aga funktsiooni y = sin x graafiku konstrueerida mingil lõigul pikkusega 2π, näiteks lõigul [0; 2π], ja seejärel jätkata samal viisil nii suures ulatuses kui vaja.

Et siinusfunktsiooni väärtused korduvad iga 2π järel, siis öeldakse, et

siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2π.

Kõige lihtsam on konstrueerida siinusfunktsiooni graafikut, sinusoidi (joonis 3.19), aga lauaarvuti abil, kasutades selleks näiteks programmi GeoGebra.

Joon. 3.19

Et sinusoid on pidev joon, siis võib ka öelda, et funktsioon y = sin x on pidev.

Graafikult on võimalik välja lugeda mitmeid siinusfunktsiooni omadusi.

Siinusfunktsiooni nullkohtadeks on argumendi väärtused
…, –2π, –π, 0, π, 2π, 3π, … ehk nπ, kus n ∈ Z.
Siinusfunktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad vahemikud
…, –2π < x < –π, 0 < x < π, 2π < x < 3π, …,
mis korduvad iga 2π järel, s.o vahemikud 2nπ < x < π + 2nπ, kus n ∈ Z.
Siinusfunktsiooni negatiivsuspiirkonna moodustavad vahemikud
…, –π < x < 0, π < x < 2π, …,
mis korduvad samuti iga 2π järel, s.o vahemikud –π + 2nπ < x < 2nπ, kus n ∈ Z.
Funktsiooni y = sin x kasvamisvahemikud on
…, -\frac{5\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2}, …
ehk -\frac{\pi}{2}+2n\pi<x<\frac{\pi}{2}+2n\pi, n ∈ Z.
ning kahanemisvahemikud on
…, -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, …
ehk \frac{\pi}{2}+2n\pi<x<\frac{3\pi}{2}+2n\pi, n ∈ Z.
Funktsiooni y = sin x miinimumkohad on
…, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, …
ehk \frac{3\pi}{2}+2n\pi, kus n ∈ Z.
ja maksimumkohad on
…, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...
ehk \frac{\pi}{2}+2n\pi, kus n ∈ Z.

Näide 1.

Kasutades siinusfunktsiooni graafikut, leiame, 1) millise märgiga on sin 3,5 väärtus ja 2) kumb on suurem, kas sin 2 või sin 3.

Et π < 3,5 < 2π, s.t 3,5 kuulub funktsiooni y = sin x negatiivsuspiirkonda (vt joon. 3.19), siis on sin 3,5 väärtus negatiivne.
Et \frac{\pi}{2}<2<3<\pi, s.t argumendi väärtused kuuluvad siinusfunktsiooni kahanemisvahemikku (vt joon. 3.19), siis sin 2 > sin 3.

Näide 2.

Lahendame võrrandi \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Joonestame siinusfunktsiooni graafiku ja sirge y=-\frac{\sqrt{3}}{2} (joonis 3.20). Võrrandi lahendeiks on nende joonte lõikepunktide abstsissid. Et \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, siis punktide A ja B abstsissid on vastavalt \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3} ja 2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}, mille korral \sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2} ning \sin\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Joon. 3.20

Meid huvitavad lõikepunktid korduvad iga 2π järel. Seega on võrrandi \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} lahendid x_1=\frac{4\pi}{3}+n\cdot2\pi ja x_2=\frac{5\pi}{3}+n\cdot2\pi, kus n ∈ Z; näiteks -\frac{2\pi}{3} ja -\frac{\pi}{3}, kui n = –1, \frac{10\pi}{3} ja \frac{11\pi}{3}, kui n = 1.

Näide 3.

Konstrueerime funktsiooni y = 2 – sin x graafiku piirkonnas [–π; 2π] ja uurime selle abil antud funktsiooni.

Vaadeldava funktsiooni graafiku võiksime konstrueerida arvuti abil, kasutades näiteks programmi GeoGebra.

Mõnusat jõukohast arutlust pakub aga graafiku konstrueerimine varem õpitud arvuliste suuruste, näiteks kordajate mõju arvestamise teel graafikute juures. Seega konstrueerime esmalt funktsiooni y = sin x graafiku (joonis 3.21), siis sellest lähtudes y = –sin x graafiku ja seejärel viimasest lähtudes y = 2 – sin x graafiku. Võrreldes funktsiooni y = –sin x funktsiooniga y = sin x näeme, et muutuja y kõik väärtused on vastupidise märgiga võrreldes funktsiooniga y = sin x, mis graafikute seisukohalt tähendab vastavate graafikute sümmeetrilisust x-telje suhtes. Teisiti öeldes saadakse y = –sin x graafik y = sin x graafikust viimase peegeldamisel x-teljest. Funktsiooni y = 2 – sin x ehk y = –sin x + 2 graafiku saame aga y = –sin x graafikust selle nihutamisel 2 ühiku võrra ülespoole.

Joon. 3.21

Funktsiooni y = 2 – sin x määramispiirkond X = [–π; 2π], nullkohad puuduvad (graafik ei lõika x-telge), positiivsuspiirkond X⁺ = [–π; 2π], negatiivsuspiirkond puudub, s.t X^– = ∅, kasvamisvahemikud on X_1\uparrow=\left[-\pi;\ -\frac{\pi}{2}\right) ja X_2\uparrow=\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right), kahanemisvahemikud on X_1\downarrow=\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right) ja X_2\downarrow=\left(\frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right].

Näide 4.

Lahendame võrratuse \sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Kasutame jälle joonist 3.20, kus on nii siinusfunktsiooni graafik kui ka sirge y=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Et \sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}, siis järelikult otsime x-teljelt piirkonda, kus funktsiooni y = sin x graafik on allpool sirget y=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Üheks selliseks vahemikuks on \frac{4\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}. Punktide A ja B abstsissid leidsime näites 2. Kuna vastavad piirkonnad korduvad iga 2π järel, siis võrratuse \sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2} lahend koosneb vahemikest

…, -\frac{2\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}<x<\frac{11\pi}{3}, …

ehk lühemalt, vahemikest

\frac{4\pi}{3}+2n\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2n\pi, n ∈ Z.

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 689. Funktsiooni y = sin x väärtused

x väärtus	x=\frac{\pi}{4}	x=\frac{\pi}{3}	x=-\frac{\pi}{2}	x=\frac{4\pi}{27}
Funktsiooni väärtus

x väärtus	x=\frac{8\pi}{45}	x=-\frac{5\pi}{16}	x=2,25	x=-0,07
Funktsiooni väärtus

Ülesanne 690. Võrrandi lahendamine

Vastus. x = , kus n ∈ Z.

Ülesanne 691. Avaldise märgi leidmine

Avaldis	Avaldise märk
\sin5
\sin\left(-3\right)
\sin\left(-1\right)
\sin7

Avaldis	Avaldise märk
\sin\frac{3\pi}{8}
\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)
\sin\left(-\frac{7\pi}{10}\right)
\sin\frac{7\pi}{10}

Ülesanne 692. Võrdlemine

\sin4,2 \sin1,8

\sin\left(-4,5\right) \sin\left(-3,8\right)

\sin\frac{3\pi}{4} \sin\frac{4\pi}{3}

\sin2\pi \sin\frac{7\pi}{4}

Ülesanne 693. Funktsiooni maksimum ja miinimum

y = 3 + 4sin x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} = ja y_{\min} = .

y = 2 – sin x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} = ja y_{\min} = .

y = 0,75 sin x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} = ja y_{\min} = .

y = sin² x

Vastus. Sellel funktsioonil on maksimum, kui x = , n ∈ Z ja miinimum, kui x = , n ∈ Z. y_{\max} = ja y_{\min} = .

Ülesanne 694. Vaateratas

Joon. 3.22

Vastus. Kui nurk on antud radiaanides, siis on otsitav funktsioon y = . Kui nurk on antud kraadides, siis on otsitav funktsioon y = . See on funktsioon.

Kirjutage välja konkreetne funktsioon, kui r = 8 m ja t₀ = 10 minutit.
Vastus. y = (radiaanides), y = (kraadides).
Konstrueerige selle funktsiooni graafik piirkonnas 0 ≤ t ≤ 10.
Milliste t väärtuste korral kabiin
1. on kõrgemal platvormist,
  Vastus. Kabiin on kõrgemal platvormist, kui t ∈ .
2. langeb?
  Vastus. Kabiin langeb, kui t ∈ .