Tangensfunktsioon

Tangensfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = tan x, $x \neq (2 n + 1) \frac{π}{2}$ , n ∈ Z.

Funktsiooni y = tan x määramispiirkond koosneb vahemikest

…, -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, …

ehk määramispiirkonnaks on reaalarvude hulk R, välja arvatud arvud kujul \left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, kus n ∈ Z.

Seosest tan (–x) = –tan x järeldub, et

tangensfunktsioon on paaritu funktsioon

ja seetõttu

tangensfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.

X klassist on teada, et iga n ∈ Z korral kehtib seos tan (x + nπ) = tan x. Sellest järeldub, et tan x väärtused korduvad iga π järel. Seega, teades funktsiooni y = tan x graafikut näiteks vahemikus \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right), saame konstrueerida graafiku nii suures ulatuses kui vaja. Et tangensfunktsiooni väärtused korduvad iga π järel, siis

tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga π.

Tangensfunktsiooni graafiku (joon. 3.26) saame konstrueerida üksikute punktide järgi või siis arvuti abil. Tangensfunktsiooni graafikuks on tangensoid.

Joon. 3.26

Jooniselt on näha, et tangensfunktsiooni graafik koosneb üksikutest osadest – harudest, mis lähenevad tõkestamatult punktiiriga märgitud sirgetele, asümptootidele. Viimaste võrrandid esituvad kujul

x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, kus n ∈ Z.

Väärtustel x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2} tangensfunktsiooni graafik katkeb.

Uurides tangensfunktsiooni graafikut, paneme tähele, et kahanemispiirkonnad puuduvad. Tangensfunktsioon kasvab määramispiirkonna igas vahemikus -\frac{\pi}{2}+n\pi<x<\frac{\pi}{2}+n\pi, n ∈ Z.

Funktsiooni y = tan x muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R, s.t

–∞ < tan x < +∞.

Näide 1.

Selgitame, mis märgiga on \tan\frac{9\pi}{4}.

Argumendi väärtus x=\frac{9\pi}{4} kuulub tangensfunktsiooni positiivsuspiirkonda \left(2\pi<\frac{9\pi}{4}<\frac{5\pi}{2}\right). Seetõttu \tan\frac{9\pi}{4}>0.

Näide 2.

Võrdleme tan (–3,7) ja tan (–2) väärtusi.

Kehtib võrratus tan (–3,7) < tan (–2), sest argumendi väärtused –3,7 ja –2 kuuluvad vahemikku -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2} ja tangensfunktsioon on kasvav.

Näide 3.

Lahendame võrrandi tan x = 1 ja võrratuse tan x > 1.

Et võrrandit tan x = 1 rahuldab argumendi väärtus \frac{\pi}{4} ja tangensfunktsioon on perioodiline perioodiga π, siis on selle võrrandi lahendeiks argumendi väärtused

…, -\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, … ehk x=\frac{\pi}{4}+n\pi, kus n ∈ Z.

Et \tan\frac{\pi}{4}=1 ja argumendi väärtus \frac{\pi}{4} kuulub vahemikku -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, kus funktsioon y = tan x kasvab, siis tan x > 1, kui \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}. Kuna funktsiooni periood on π, siis korduvad vahemikud, kus tan x > 1, iga π järel. Seega koosneb võrratuse tan x > 1 lahend vahemikest

…, -\frac{3\pi}{4}<x<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{2}, …

ehk

\frac{\pi}{4}+n\pi<x<\frac{\pi}{2}+n\pi, kus n ∈ Z.

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 717. Funktsiooni y = tan x väärtused

Argumendi väärtus	x=0	x=\frac{\pi}{3}	x=\frac{\pi}{2}	x=-\frac{\pi}{4}
Funktsiooni väärtus

Argumendi väärtus	x=\frac{7\pi}{10}	x=\frac{4\pi}{9}	x=1,03	x=-3,1
Funktsiooni väärtus

Ülesanne 718. Tangensfunktsiooni uurimine

Joon. 3.26

positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.
Vastus. X^+ = , X^- =
nullkohad.
Vastus. X_0 =
kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
Vastus. X_n\uparrow = , X\downarrow =
ekstreemuskohad.
Vastus. X_e =

Ülesanne 719. Avaldise märgi leidmine

Avaldis	Avaldise märk
\tan4,5
\tan\left(-6\right)
\tan\left(-1,8\right)
\tan6

Avaldis	Avaldise märk
\tan\frac{7\pi}{4}
\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)
\tan\left(-2\pi\right)
\tan\frac{2\pi}{3}

Ülesanne 720. Võrdlemine

\tan\frac{\pi}{3} \tan\frac{4\pi}{9}

\tan\left(-\frac{5\pi}{12}\right) \tan\frac{\pi}{18}

\tan3,2 \tan4

\tan\left(-0,4\right) \tan1

Seotud sisu