Funktsiooni tuletis

Liikumise hetkkiiruse ja funktsiooni graafiku puutuja tõusu valemi leidmisel jõudsime selleni, et mõlemal juhul läheneb funktsiooni y = f (x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx jagatis teatud avaldisele, kui Δx → 0. Seda avaldist nimetatakse funktsiooni y = f (x) tuletiseks ja tähistatakse sümboliga f '(x) või [f (x)]' või y'. Seega

funktsiooni y = f (x) tuletiseks on suurus f '(x), millele läheneb funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatis $\frac{Δ y}{Δ x}$ , kui Δx → 0, ehk kui Δx → 0, siis $\frac{Δ y}{Δ x} \to f' (x)$ .

Teisiti öeldes:

funktsiooni y = f (x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile:

$f' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$ .

Kui funktsioonil y = f (x) on kohal x₀ tuletis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv kohal x₀. Tuletis f '(x₀) on arv.

Kui funktsioon on diferentseeruv arvtelje mingi piirkonna X igas punktis x (teisiti öeldes on diferentseeruv hulgal X), siis on vaadeldavas piirkonnas (hulgal X) korraldatud vastavus argumendi väärtuste x ja tuletise väärtuste f '(x) vahel. Tähendab, piirkonnas (hulgal) X on defineeritud uus funktsioon, mida nimetatakse antud funktsiooni f (x) tuletisfunktsiooniks ehk lihtsalt tuletiseks f '(x). Nüüd tähendab f '(x) funktsiooni, kusjuures x ∈ X.

Seega on terminil tuletis kaks tähendust – teatud arv f '(x₀) ja teatud funktsioon f '(x). Edaspidi vaatleme tuletist peamiselt funktsioonina.

Varemõpitust järeldub:

1) liikumisseaduse s = f (t) korral on hetkkiirus v = s' = f '(t);

2) funktsiooni y = f (x) graafiku puutuja tõus k = f '(x).

Eelmise peatüki näite põhjal võime öelda, et funktsiooni

$y = \frac{1}{x}$ tuletis $y' = - \frac{1}{x^{2}}$ .

Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. Matemaatika haru, mis uurib tuletise ja sellega seotud mõistete omadusi ning rakendusi, nimetatakse diferentsiaalarvutuseks. Diferentsiaalarvutus tekkis 17. sajandi teisel poolel. Selle loojateks olid (teineteisest sõltumatult) saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) ning inglise füüsik, astronoom ja matemaatik Isaac Newton (1643–1727). Tööstuse ja tehnika arengule oli diferentsiaalarvutuse loomine ja sellele järgnev matemaatika areng olulise tähtsusega.

Osutub, et kehtib omadus:

kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv kohal x, siis on see funktsioon ka pidev kohal x.

Peatüki 4.5 näidetes 3, 4 ja 5 selgus, et suhet \frac{\Delta y}{\Delta x} võib vaadelda funktsiooni väärtuse muutumise keskmise kiirusena lõigul Δx ja seega suurust $y' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$

funktsiooni väärtuse muutumise hetkkiirusena kohal x.

Näide.

Leiame funktsiooni y = 2x² + 3x – 4 muutumise hetkkiiruse kohal x = 0 ja kohal x = 2,2.

Selleks on tarvis leida antud funktsiooni tuletis. Et Δy = 4xΔx + 3Δx + 2(Δx)² (vt peatükk 4.5, näide 2), siis \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left(4x+3+2\Delta x\right)}{\Delta x} = 4x + 3 + 2Δx.Kui nüüd Δx → 0, siis \frac{\Delta y}{\Delta x}\to4x+3, mis tähendab, et y' = 4x + 3.Sümboli lim abil kirjutades $y' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{4 x Δ x + 3 Δ x + 2 {(Δ x)}^{2}}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} (4 x + 3 + 2 Δ x)$ = 4x + 3.

Funktsiooni y = 2x² + 3x – 4 muutumise hetkkiirus kohal 0 on f '(0) = 4 ⋅ 0 + 3 = 3, kohal 2,2 aga f '(2,2) = 4 ⋅ 2,2 + 3 = 11,8.

Kui funktsioon y = f (x) kirjeldab mingit protsessi, määravad suurused \frac{\Delta y}{\Delta x} ja f '(x) vastava protsessi kulgemise keskmise ja hetkkiiruse argumendi x suhtes. Esitagu näiteks funktsioon y = f (x) metallvarda pikkuse y sõltuvust varda temperatuurist x. Siis \frac{\Delta y}{\Delta x} annab varda pikenemise keskmise kiiruse temperatuuri suhtes, temperatuuri muutuse Δx ulatuses alates temperatuurist x kraadi. Tuletis f ′(x) annab aga varda pikenemise hetkelise kiiruse temperatuuril x kraadi.

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 830. Funktsiooni tuletis

y=x^2
y′ =

y=5x
y′ =

y=4x^2
y′ =

y=x^2+5x
y′ =

y=4x^2-x
y′ =

y=x
y′ =

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 831. Funktsiooni tuletis

y=\frac{2}{x}
y' =

y=\frac{2}{3x+1}
y' =

y=-x
y' =

Ülesanne 832. Funktsiooni tuletis

Leidke \left(\sqrt{x}\right)^'.

\left(\sqrt{x}\right)^' =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Funktsiooni tuletis

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 830. Funktsiooni tuletis

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 831. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 832. Funktsiooni tuletis

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid