Геометрическая вероятность

Пример 1.

Водопроводная труба на протяжении 200 м проходит под землей. В трубе образовалась пробоина. При этом вероятность возникновения пробоины одинакова на протяжении всей трубы. Какова вероятность того, что пробоина образовалась под шоссе (событие А), ширина которого 15 м?

Трубу можно рассматривать как непрерывный отрезок. Число точек отрезка (возможных мест возникновения пробоины) бесконечно, благоприятствующих возможностей (точек отрезка, расположенного под шоссе) также бесконечное множество. Поэтому здесь нельзя воспользоваться классическим определением вероятности. Будем рассуждать наглядно, по аналогии с конечными величинами: представляется естественным, что длина трубы пропорциональна «количеству точек» (хотя оно и бесконечно!) этой трубы. Но при таком представлении неопределенное понятие «количество точек» можно заменить на длину отрезка трубы, следовательно, искомая вероятность выражается отношением длины отрезка, проходящего под шоссе (благоприятствующие возможности), к длине всей трубы (200 м – все возможные исходы), т. е. p = 15 : 200 = 0,075. Таким же образом определяют геометрическую вероятность в случае произвольного отрезка длиной L и выбранного на нем «благоприятствующего» отрезка длиной l, а именно: р = l : L.

Пример 2.

Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в закрашенную область этого квадрата (рис. 1.13)?

Рис. 1.13

Пусть сторона квадрата равна а. Тогда катеты незакрашенных треугольников равны 0,5а и сумма площадей этих треугольников есть

4\cdot\frac{0,5\cdot0,5a}{2}=\frac{a^2}{2}.

Площадь квадрата S = a², площадь закрашенной части s = a² – 0,5a² = 0,5a². Искомая вероятность p = 0,5a² : a² = 0,5.

Пример 3.

Мальчик бросает мяч диаметром 6 см через прямоугольное отверстие с измерениями 20 см × 15 см (рис. 1.14). Какова вероятность того, что он сделает это «чисто», т. е. не попадая в ребро отверстия?

Рис. 1.14

Будем считать, что бросок выполнен удачно даже в том случае, когда мяч скользнет по внутренней стенке, т.е. окружность, изображающая мяч на рисунке 1.14, касается стороны прямоугольника. Бросок выполнен «чисто», если центр мяча (центр окружности на рисунке 1.14) попадет в ограниченный пунктирной линией прямоугольник, измерения которого 20 – 6 = 14 (см) и 15 – 6 = 9 (см). 

Поэтому p=\frac{14\cdot9}{20\cdot15}=0,42.

Пример 4.

Автобусы одного из городских маршрутов отправляются с интервалами в 12 минут, причем на конечной остановке автобус стоит 3 минуты и затем снова выезжает на линию. Пассажир прибыл на конечную остановку в случайно выбранный момент времени. Какова вероятность того, что там стоит автобус?

«Множества моментов времени» 3 мин и 12 мин можно представить на числовой прямой отрезками, например, длиной 3 cм и 12 cм. Согласно определению геометрической вероятности, получим, что p = 3 : (3 + 12) = 0,2.

Пример 5.

Подгнивший у основания флагшток высотой 6 м стоит на лужайке в точке А (рис. 1.15). На расстоянии 2 м от основания флагштока расположена цветочная грядка в виде части кругового кольца длиной 4 м. Найдем вероятность того, что при падении флагшток упадет на грядку.

Рис. 1.15

Предположим, что флагшток может с равными возможностями упасть в любую сторону. Благоприятствующим для рассматриваемого события случаем является падение флагштока в угол α.

Найдем этот угол. Длина дуги внутренней окружности равна 4 м. Поэтому \frac{2\pi\cdot2\cdot\mathrm{\alpha}}{360\degree}=4, откуда \mathrm{\alpha}=\frac{360\degree}{\pi} и искомой вероятностью будет p=\frac{360\degree}{\pi}\ :\ 360\degree=\frac{1}{\pi}\approx0,32.