Характеристики случайной величины

Распределение случайной величины Х, заданное таблицей

можно охарактеризовать с помощью различных числовых характеристик[понятие: Числовые характеристики случайной величины (juhusliku suuruse arvkarakteristikud) – числа, характеризующие рассматриваемую случайную величину с какой-либо точки зрения, например по расположению или рассеянию ее значений.] (как и в случае частотной таблицы или таблицы распределения значений признака статистической совокупности). Три таких характеристики мы здесь рассмотрим. Первая из них, называемая средним значением[понятие: Среднее значение (или математическое ожидание) случайной величины (juhusliku suuruse keskväärtus) – число 𝐸𝑋, характеризующее расположение на числовой оси возможных значений случайной величины 𝑋 и находящееся между наибольшим и наименьшим значениями этой величины. Среднее значение дискретной случайной величины равно сумме произведений возможных значений случайной величины на соответствующие этим значениям вероятности.] или математическим ожиданием[понятие: Математическое ожидание – см. среднее значение случайной величины.], является средним значением случайной величины и отражает расположение ее значений на числовой оси. Две другие характеристики – дисперсия[понятие: Дисперсия случайной величины (juhusliku suuruse dispersioon) – среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Обозначение: 𝐷𝑋.] и стандартное отклонение[понятие: Стандартное отклонение случайной величины (juhusliku suuruse standardhälve) – корень квадратный из дисперсии 𝐷𝑋 случайной величины 𝑋. Обозначение: σ (сигма).] – характеризуют рассеяние значений случайной величины.

Средним значением (или математическим ожиданием) случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей, т. е. число

EX = p1x1 + p2x2 + … + pnxn.

Пример 1.

Среднее значение числа очков Х, выпадающих при бросании игральной кости (см. первую из таблиц параграфа 1.18), есть

EX=\frac{1}{6}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot2+\frac{1}{6}\cdot3+\frac{1}{6}\cdot4+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot6 = 21 : 6 = 3,5.

Другими словами, при бросании игральной кости каждый раз выпадает в среднем 3,5 очка, а при 10-кратном бросании выпадет в среднем 35 очков.

Дисперсией случайной величины Х называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения, т. е. число DX = E(X – EX)2,

или иначе

DX = p1(x1 – EX)2 + p2(x2 – EX)2 + … + pn(xn – EX)2.

Пример 2.

Дисперсия числа очков Х, выпадающих при бросании игральной кости, есть

DX=\frac{1}{6}\cdot\left(1-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(2-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(3-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(4-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(5-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(6-3,5\right)^2 = 17,5 : 6 ≈ 2,917.

Стандартным отклонением (или средним квадратическим отклонением) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии, т. е. число

σ=DX.

Пример 3.

Найдем стандартное отклонение числа очков Х, выпадающих при бросании игральной кости (см. пример 2):

σ = \sqrt{DX} = \sqrt{2,917} ≈ 1,708.

Выведем еще одну формулу для вычисления дисперсии. Так как среднее значение EX = p1x1 + p2x2 + … + pnxn, то выражение p1x12 + p2x22 + … + pnxn2 представляет собой среднее значение случайной величины X2, которое можно обозначить через EX2. Теперь получим:

DX = p1(x1 – EX)2 + p2(x2 – EX)2 + ... + pn(xn – EX)2 = p_1\left(x_1^2-2x_1EX+\left(EX\right)^2\right)+p_2\left(x_2^2-2x_2EX+\left(EX\right)^2\right)+...+p_n\left(x_n^2-2x_nEX+\left(EX\right)^2\right) = p_1x_1^2+p_2x_2^2+...+p_nx_n^2-2EX\left(p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n\right)+\left(EX\right)^2\left(p_1+p_2+...+p_n\right) = EX^2-2\cdot EX\cdot EX+\left(EX\right)^2 = EX^2-\left(EX\right)^2.

Следовательно,

DX = EX2 – (EX)2

и

σ=EX2-(EX)2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 202. Одновременное бросание двух игральных костей

Ответ: EX = ; σ = .

Задание 203. Двенадцатигранная игральная кость

Ответ: EX = ; σ = .

Задание 204. Лотерея

Ответ: средний размер выигрыша, приходящегося на один лотерейный билет, был  € и стандартное отклонение было равно . Лотерея работала , который составил  евро.

Задание 205. Розыгрыш денег

Ответ: для обоих мальчиков сумма среднего выигрыша равна и стандартное отклонение равно .

Seotud sisu
Muud tegevused