Некоторые из рассмотренных выше функций обладают следующей особенностью: их графики симметричны либо относительно оси ординат, либо относительно начала координат.
Функция y = f (x) называется четной[понятие: Четная функция (paarisfunktsioon) – функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), для которой 𝑓(–𝑥) = 𝑓(𝑥) при любом значении 𝑥 из области определения функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат.], если для любого x из области определения функции верно равенство f (–x) = f (x).
Данное определение подразумевает, что точки x и –x должны одновременно принадлежать области определения Х функции, т. е. что множество Х симметрично относительно начала координат О.
ТЕОРЕМА 1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Доказательство.
Пусть функция у = f(х) четная. Нам нужно показать, что если некоторая точка Р принадлежит графику функции, то этому графику обязательно принадлежит и точка, симметричная точке Р относительно оси Оу.
Пусть P(x; y) – некоторая точка графика. Ордината этой точки есть f (x) = y. В силу четности функции f (x) = f (–x), т. е. точка P'(–x; y) также принадлежит графику. Так как точки P(x; y) и P′(–x; y) симметричны относительно оси Оу (рис. 2.49, a), то теорема доказана. ♦
Пример 1.
Выясним, являются ли функции y = 4x2 и y = 2x4 – x + 2 четными. Для этого сравним выражения f (x) и f (–x).
В первом случае получим: f (x) = 4x2, f (–x) = 4(–x)2 = 4x2, т. е. f (x) = f (–x).
Во втором случае: f (x) = 2x4 – x + 2, f (–x) = 2(–x)4 – (–x) + 2 = 2x4 + x + 2, т. е. f (x) ≠ f (–x).
Значит, функция y = 4x2 четная, а функция y = 2x4 – x + 2 таковой не является.
Функция y = f (x) называется нечетной[понятие: Нечетная функция (paaritu funktsioon) – функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), для которой 𝑓(–𝑥) = –𝑓(𝑥) при любом значении 𝑥 из области определения функции. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.], если для любого x из области определения функции верно равенство f (–x) = –f (x).
В этом определении также подразумевается, что область определения функции должна быть симметричной относительно начала координат.
Из равенства f (–x) = –f (x) следует, что значения нечетной функции в точках х и –х являются взаимно противоположными числами.
Пример 2.
Выясним, являются ли функции y = 2x4 – x + 2 и y = x3 – x нечетными. Для этого сравним выражения f (–x) и –f (x).
В первом случае получим: f (–x) = 2x4 + x + 2 и –f (x) = –(2x4 – x + 2) = –2x4 + x – 2, т. е. f (–x) ≠ –f (x).
Во втором случае: f (–x) = (–x)3 – (–x) = –x3 + x и –f (x) = –(x3 – x) = –x3 + x, т. е. f (–x) = –f (x).
Значит, функция y = 2x4 – x + 2 не является нечетной, а функция y = x3 – x нечетная.
ТЕОРЕМА 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Доказательство.
Пусть А(х; f(х)) – некоторая точка графика нечетной функции у = f(х). Рассмотрим точку графика с абсциссой –х, т. е. точку В(–х; f(–х)). В силу нечетности функции f(–х) = –f(х), значит точка В – это точка (–х; –f(х)). Так как координатами точек А и В являются взаимно противоположные числа, то эти точки симметричны относительно начала координат (рис. 2.57). ♦
Упражнения A
Задание 483. Построение графика четной или нечетной функции
Задание 484. Четные и нечетные функции
Задание 485. Четные и нечетные функции
- y = x3
- y = x2n
- y = x–1
- y = x0
- y = x2
- y = x–3
- y = x
- y = x2n+1
- y = x–2
- y = x4
Задание 486. Четные и нечетные функции
 Рис. 2.58 |
| |||||
Упражнения Б
Задание 487. Доказательство
Задание 488. Доказательство
Задание 489. Произведение и частное двух нечетных функций
Ответ: произведение и частное двух нечетных функций является.
Задание 490. Четная функция
- y = x2 f (x)
- y = x f (x)
- y = x2 + f (x)
- y = x2 f (x) – 10
- y = x f (x) + x
- y = x2 – 5 f (x)
Задание 491. Нечетная функция
- y = x f (x)
- y = x2 f (x)
- y = f (x) + x
- y = x2 + f (x)
- y = 3 f (x) – x3
- y = x f (x) + 10
