Случайное, достоверное и невозможное события

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

[cноска: Esimesed tõenäosuslikud ülesanded pärinevad hasart­mängudest ja kuuluvad 15. sajandisse. Tõenäosuse mõisteni jõuti aga 17. sajandil prantsuse matemaatikute Blaise Pascali ja Pierre Fermat’ poolt. Nende koos­töö algas 1654. a, mil kirglik hasart­mängija Chevalier de Mere esitas Pascalile lahendamiseks hasart­mängudega seotud ülesande. Esimene raamat tõenäosus­teooriast ilmus 1657. a, autoriks hollandlane Christiaan Huygens.]Теория вероятностей[cноска: Первые задачи теории вероятностей восходят к попыткам анализа азартных игр и ведут свое начало с 15 века. Но само понятие вероятности было введено лишь в 17 веке французскими математиками Блезом Паскалем (Blaise Pascal) и Пьером де Ферма (Pierre de Fermat). Их сотрудничество началось в 1654 году, когда страстный игрок в кости шевалье де Мере обратился к Паскалю с просьбой решить задачу, связанную с азартными играми. Первая книга по теории вероятностей появилась в 1657 году, ее автором был голландский ученый Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens).] – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. При этом одним из средств является понятие вероятности события.

Вспомним, что такое случайное событие.

Таким образом, в теории вероятностей[понятие: Теория вероятностей (tõenäosusteooria) – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.] для всякого случайного события есть лишь две возможности: либо оно произойдет, либо не произойдет. Третьей возможности не существует (так называемый закон исключенного третьего[понятие: Закон исключенного третьего (välistatud kolmanda seadus) – для всякого случайного события имеется лишь две возможности: либо оно произойдет, либо не произойдет.]). В реальной жизни ситуация иногда бывает менее определенной. Например, если утром крыльцо покрыто каплями воды, то не всегда ясно, произошло событие «прошел дождь» или же нет.

Случайным событием является, например, выигрыш в лотерее, выпадение 6 очков при бросании игральной кости, попадание в «десятку» мишени при стрельбе в тире.

Для краткости и удобства события обозначают большими латинскими буквами A, B и т. д. или же символами A₁, A₂ и т. д.

Чаще всего одно и то же случайное событие А может произойти различными способами. Например, при одновременном бросании двух игральных костей (пусть они будут черной и белой, см. таблицу) в сумме может выпасть 5 очков (назовем это событием А) четырьмя различными способами. Этими случаями являются: 4 + 1; 3 + 2; 2 + 3, 1 + 4, где первое слагаемое означает число очков, выпавших на черной кости, а второе слагаемое – на белой.

Перечисленные частные случаи, называемые благоприятствующими событию исходами испытания[понятие: Благоприятствующе событию исходы испытания (sündmuse soodsad võimalused) – исходы испытания, при которых происходит рассматриваемое событие.], являются для события А равновозможными[понятие: Равновозможные события (võrdvõimalikud sündmused) – исходы испытания, для которых нет никаких оснований для того, чтобы один из этих исходов имел какие-то преимущества перед другими.], так как нет никаких оснований для того, чтобы один из этих исходов имел какие-то преимущества перед другими. Каждый из равновозможных исходов может, в свою очередь, рассматриваться как событие. Поэтому такие события называются элементарными событиями[понятие: Элементарное событие (elementaarsündmus) – любой исход испытания, удовлетворяющего условиям: 1) число возможных исходов конечно; 2) при каждом испытании появляется только один из возможных исходов; 3) все исходы равновозможны.], благоприятствующими появлению события А.

Элементарные события мы будем обозначать символами E₁, E₂, E₃, …

Для рассмотренного события А элементарными cобытиями будут E₁ – выпадение 4 + 1 очков, E₂ – выпадение 3 + 2 очков, Е₃ – выпадение суммы 2 + 3 и Е₄ – выпадение суммы 1 + 4.

Благоприятствующие появлению события А исходы (выпадение в сумме 5 очков при бросании двух игральных костей) принадлежат множеству всех возможных исходов испытания. Таких исходов всего 36 (см. таблицу). Эти исходы испытания также являются равновозможными. Подведем итоги: в случае одновременного бросания двух игральных костей есть 36 возможных исходов испытания, т. е. 36 элементарных событий, из которых багоприятствующими событию А (выпадению в сумме 5 очков) являются 4 исхода. Поэтому вероятность P\left(A\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.

Если благоприятствующими событию являются все возможные исходы (элементарные события E₁, E₂, E₃, …, E_n), то такое событие называется достоверным событием[понятие: Достоверное событие (kindel sündmus) – событие, которое при данных условиях обязательно происходит при любом испытании.]. Достоверное событие обозначают также символом U или Ω[cноска: Ω – заглавная греческая буква омега.].

При заданных условиях достоверное событие обязательно происходит при любом испытании и P\left(U\right)=\frac{n}{n}=1.

Например, достоверным является при бросании игральной кости событие, состоящее в том, что число выпавших очков меньше семи или же солнце всегда встает на востоке.

Если же для события V не существует ни одного благоприятствующего исхода испытания, то такое событие называется невозможным событием[понятие: Невозможное событие (võimatu sündmus) – событие, которое при данных условиях никогда не может произойти, оно не имеет ни одного благоприятствующего исхода испытания.]. Это событие при данных условиях никогда не может произойти и P\left(V\right)=\frac{0}{n}=0. Невозможное событие часто обозначают символом ∅.

Например, невозможным событием является при бросании игральной кости выпадение 7 очков и Р(7 очков) = \frac{0}{6}=0.

События A и B считают равными и пишут A = B, если они имеют одни и те же благоприятствующие исходы в множестве элементарных событий E₁, E₂, E₃, …, E_n.

Например, если событие A заключается в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении числа очков, делящегося на 2, то A = B.

Для достоверного события Ω противоположным ему событием считается невозможное событие ∅, т. е.​ $\[ \overline{\Omega } \]$ = ∅, а для невозможного события V = ∅ противоположным является достоверное событие, т. е. $\[ \overline{V} \]$ = Ω.