Классическая вероятность события

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

Напомним, как определяется классическая[cноска: Слово классическая указывает на то, что такое определение вероятности исторически возникло раньше всего. Существуют и другие определения вероятности.] вероятность события.

Вероятностью[понятие: Классическая вероятность события (sündmuse klassikaline tõenäosus) – см. вероятность события.] события А называется отношение числа k благоприятствующих этому событию элементарных событий (возможностей) к числу n всех элементарных событий (возможностей), т. е. Р(А) = kn.

Подчеркнем, что в случае этого определения относительно всех элементарных событий предполагается, что:

  1. их число (n) конечно,
  2. события взаимоисключающие (при любом испытании может произойти только одно из них),
  3. эти события равновозможны.

Вероятность события обозначается буквой р или символом Р(А), а также р(А), если требуется указать, какое событие рассматривается.

Пример 1.

Найдем вероятность: 1) выпадения четного числа очков (событие А); 2) выпадения делящегося на 5 числа очков (событие В) при бросании игральной кости.

В обоих случаях имеется всего 6 возможностей.

  1. Так как благоприятствующими событию А являются 3 возможности (2, 4 и 6), то
    ​​P\left(A\right)=\frac{3}{6}=0,5.
  2. Всех возможностей по-прежнему 6, но благоприятствует событию В только один исход. Следовательно, k = 1 и ​P\left(B\right)=\frac{1}{6}\approx0,1667.​

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.

1. Вероятность Р(А) события является числом, удовлетворяющим неравенствам 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Действительно, так как P\left(A\right)=\frac{k}{n} и 0 ≤ k ≤ n, то 0\le\frac{k}{n}\le1.

Вероятность случайного события показывает, насколько оно является ожидаемым. С другой стороны вероятность (особенно, когда она выражена в процентах) показывает, насколько часто появляется интересующее нас случайное событие при большом количестве испытаний. На основании примера 1 можно утверждать, что если сделать, например, 10 000 бросаний игральной кости, то четное число очков выпадет примерно в половине случаев, или в 50% случаев. Пять же очков выпадет в \frac{1}{6} части случаев, или приблизительно в 16,7% случаев, так как p ≈ 0,1667.

2. Вероятность достоверного события равна 1,
​т. е. P(Ω) = 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0,
​т. е. P(∅) = 0.

4. Сумма вероятности события A и вероятности противоположного события A¯ равна 1,
​т. е. P(A)+P(A¯)=1.

Действительно, если P\left(A\right)=\frac{k}{n}, то P\left(\overline{A}\right)=\frac{n-k}{n}, откуда P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n}=1.

Пример 2.

В предыдущем примере мы нашли, что вероятность выпадения пяти очков (событие В) при бросании игральной кости есть P\left(B\right)=\frac{1}{6}. Но тогда вероятность противоположного события \overline{B}, т. е. выпадения 1, 2, 3, 4 или 6 очков, будет P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.

При вычислении вероятности число благоприятствующих событию исходов испытания и число всех возможных исходов зачастую приходится находить с помощью формул и правил комбинаторики.

Пример 3.

В урне 8 белых и 12 черных шаров. Шары перемешали и вынули наугад 4 шара. Найдем вероятность того, что: 1) все эти шары белые; 2) среди вынутых шаров 2 или 3 белых.

  1. Общее число возможных элементарных событий n=C_{20}^4=\frac{20!}{4!\cdot16!}=4845. Число благоприятствующих исходов k для выбора 4 белых шаров k=C_8^4=\frac{8!}{4!\cdot4!}=70. Поэтому вероятность p=70\ :\ 4845\approx0,014. Такое событие наблюдается довольно редко.
  2. Число всех возможностей n по-прежнему равно 4845. Благоприятствующие исходы наблюдаются в двух вариантах: 1) 2 белых и 2 черных шара; 2) 3 белых и 1 черный шар. Число возможностей для каждого варианта найдем по правилу умножения, а затем общее число возможностей – сложив по правилу сложения результаты всех трех вариантов. Получим:
    ​k=C_8^2\cdot C_{12}^2+C_8^3\cdot C_{12}^1=\frac{8!}{2!\cdot6!}\cdot\frac{12!}{2!\cdot10!}+\frac{8!}{3!\cdot5!}\cdot\frac{12!}{1!\cdot11!}= 2520.
    ​Соответствующая вероятность p=2520\ :\ 4845\approx0,520. Так как эта вероятность больше половины, то более вероятным является то, что рассматриваемое событие произойдет, чем то, что оно не произойдет.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Ответ: P(простое число) = 

  1. карта бубновой масти?

    Ответ: P(A) = 
  2. туз?

    Ответ: P(B) = 
  3. «картинка» (т. е. король, дама или валет)?

    Ответ: P(C) = 
  4. картинка пиковой масти или туз?

    Ответ: P(D) = 
  1. юноша.

    Ответ: P(A) = 
  2. Лена.

    Ответ: P(B) = 
  3. юноша ростом более 180 cм.

    Ответ: P(C) = 
  4. Вы?

    Ответ: P(D) = 

Ответ: вероятность выпадения решки равна .

  1. два орла?

    Ответ: P(A) = 
  2. орел и решка?

    Ответ: P(B) = 
  3. хотя бы одна решка?

    Ответ: P(C) = 
Рис. 1.5

Ответ: вероятность попадания в цветную плитку равна .

  1. белым?

    Ответ: P(A) = 
  2. красным?

    Ответ: P(B) = 
  3. синим?

    Ответ: P(C) =
  1. белыми?

    Ответ: P(V) = 
  2. красными?

    Ответ: P(P) = 
  3. синими?

    Ответ: P(S) = 
  1. черными?

    Ответ: P(M) = 
  2. одного цвета?

    Ответ: P(S) = 
  3. разного цвета?

    Ответ: P(E) = 

Число очков

Вероятность

Ответ: 1) наибольшая вероятность p() =  и
2) наименьшие вероятности p() = p() = 

  1. изучает немецкий язык?
    Ответ: вероятность того, что случайно выбранный учащийся изучает немецкий язык, составляет .
  2. не изучает немецкий язык?
    Ответ: вероятность того, что случайно выбранный учащийся не изучает немецкий язык, составляет .
  1. слово вес?

    Ответ: P(ВЕС) = 
  2. осмысленное слово?

    Ответ: P(осмысленное слово) = 
  1. три окрашенные грани?

    Ответ: P(A) = 
  2. только одну окрашенную грань?

    Ответ: P(B) = 
  3. все неокрашенные грани?

    Ответ: P(C) = 
  1. оказалась хотя бы одна пара носков одного цвета?
    Ответ: нужно взять не менее  носков.
  2. оказалась хотя бы одна пара серых носков?
    Ответ: нужно взять не менее  носков.

Какова вероятность того, что два случайно выбранных носка будут одинаковыми?

Ответ: вероятность того, что два случайно выбранных носка будут одинаковыми, равна .

Seotud sisu
Muud tegevused