Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”
Рассмотрим испытание, которое можно повторять сколько угодно раз и которое характеризуется n возможными числовыми результатами. Например, при бросании игральной кости возможными результатами являются числа выпавших очков от 1 до 6.
Все такие возможные результаты испытания можно рассматривать как возможные значения x1, x2, …, xn некоторой величины, или переменной, Х. Поскольку только случай определяет, какое из значений этой величины проявится в конкретном испытании, такую величину Х называют случайной величиной[понятие: Случайная величина (juhuslik suurus) – величина, у которой появление конкретного значения (из множества возможных значений) зависит от случая. Например, число очков, выпадающих при бросании игральной кости.].
Появление в испытании того или иного значения случайной величины можно рассматривать как случайное событие. Случайными событиями можно считать также появление таких значений величины Х, которые удовлетворяют каким-нибудь заданным условиям, например, a < x < b или x < c (можно писать также a < X < b или X < c) и т. п.
Пример 1.
Пусть испытание заключается в бросании игральной кости. Возможными исходами являются выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Возникает случайная величина Х, значениями которой являются: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6. Выпадение каждого из этих очков можно рассматривать как случайное событие: E1 – выпадение 1 очка, E2 – выпадение 2 очков и т. д. Как мы уже знаем, эти события попарно несовместны и равновозможны.
Рассмотрим событие А, заключающееся в выпадении такого числа очков Х, которое удовлетворяет неравенству X ≤ 4. Так как это событие имеет 4 благоприятствующих исхода, а всего возможностей 6, то P(X ≤ 4) = 4 : 6 ≈ 0,67.
Пример 2.
Пусть случайной величиной Х является сумма выпавших очков при одновременном бросании двух игральных костей. Возможными значениями величины Х являются числа 2, 3, 4, ... , 12. Хотя соответствующие события попарно несовместны, они уже не являются равновозможными, так как, например, 2 очка могут выпасть только в одном варианте (1 + 1), а для 4 очков таких возможностей три (1 + 3, 2 + 2 или 3 + 1).
Для каждого значения xi случайной величины Х можно найти вероятность рi появления этого значения, так как появление хi рассматривается как осуществление случайного события. Результаты можно представить в виде множества числовых пар (хi; pi), таблицей, графически, а также формулой. Такие представления являются различными способами задания функции. В данном случае говорят, что соответствие между значениями случайной величины Х и их вероятностями задает закон распределения случайной величины[понятие: Закон распределения случайной величины (tõenäosusfunktsioon) – правило, по которому каждому возможному значению 𝑥ᵢ этой случайной величины ставится в соответствие вероятность 𝑃(𝑥ᵢ) его появления. Этот закон может быть задан в виде множества числовых пар, таблицы, графически или формулы.]. Приведем определение:
законом распределения случайной величины Х называется правило, по которому каждому возможному значению xi этой случайной величины ставится в соответствие вероятность pi (или P(xi)) его появления.
Закон распределения случайной величины показывает, каким образом равная 1 сумма вероятностей распределена между различными возможностями xi. Например, распределение случайной величины при бросании игральной кости показано в первой строке приведенной ниже таблицы. В виде функции этот закон записывается
Если закон распределения случайной величины найден, то говорят также, что найдено распределение случайной величины[понятие: Распределение случайной величины – см. закон распределения случайной величины.].
Распределение случайной величины Х часто задают также функцией P(X ≤ x), которая называется функцией распределения вероятностей[понятие: Функция распределения вероятностей (jaotusfunktsioon) – представляющая распределение случайной величины 𝑋 функция, которая каждому значению 𝑥ᵢ этой случайной величины ставит в соответствие вероятность 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥ᵢ), т. е. вероятность того, что в испытании значение случайной величины не превзойдет числа 𝑥ᵢ.] случайной величины. Эта функция каждому значению xi случайной величины Х ставит в соответствие вероятность P(X ≤ xi), т. е. вероятность того, что в испытании значение случайной величины Х не превзойдет числа xi.
Например, при бросании игральной кости функция распределения вероятностей представлена первой и третьей строкой предшествующей таблицы. Графическое представление изображено на рисунке 1.21.
В случае примера 2 одновременно бросали две игральные кости, Функция распределения случайной величины Р(Х) представлена двумя первыми строками нижеследующей таблицы, а также гистограммой на рисунке 1.22. Функцию распределения вероятностей P(X ≤ x) представляют первая и третья строки таблицы ниже.
Основное свойство закона распределения[понятие: Основное свойство закона распределения (tõenäosusfunktsiooni põhiomadus) – сумма всех вероятностей, соответствующих возможным значениям случайной величины, равна 1.]:
p1 + p2 + … + pn = 1,
С помощью распределений случайной величины можно решать самые разные задачи.
Пример 3.
Найдем вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет либо 1, либо 4, либо 6 очков. Получим:
P (либо 1, либо 4, либо 6) = P(1) + P(4) + P(6) =
Пример 4.
Пользуясь приведенными выше таблицами для Р(Х) и Р(Х ≤ х), найдем вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных костей выпадет в сумме: 1) не более 5 очков; 2) не менее 5 очков, но не более 8 очков.
- На основании таблицы распределения получим:
P(2, 3, 4 или 5 очков) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) =\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}+\frac{4}{36} =\frac{10}{36} =\frac{5}{18} ≈ 0,28 или непосредственно из таблицы функции Р(Х ≤ х): P(X ≤ 5) =\frac{10}{36} ≈ 0,28. - P(5 ≤ x ≤ 8) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) =
\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36} =\frac{20}{36} =\frac{5}{9} ≈ 0,56 или P(5 ≤ X ≤ 8) = P(4 < X ≤ 8) = P(X ≤ 8) – P(X ≤ 4) =\frac{26}{36}-\frac{6}{36} =\frac{20}{36} ≈ 0,56.
В разделах 3.1–3.3 этой главы мы рассматривали исследование статистической совокупности относительно тех или иных количественных (числовых) признаков. Рассматривавшиеся там признаки представляли собой случайные величины. В самом деле, распределения этих признаков описывались таблицами относительных частот, а относительная частота числового значения есть не что иное, как вероятность его появления. При этом распределение признака (как случайной величины) получалось в результате экспериментов и наблюдений, т. е. эмпирически[cноска: Oт греческого слова эмпейриa – опыт.]. Рассмотренные же в настоящем параграфе (примеры 1 и 2) распределения случайных величин были получены на основе теоретических соображений.
Случайные величины (и их распределения) можно определять и теоретически, т. е. предварительно задавая их таблицами, формулами и т. п. Тогда случайная величина может рассматриваться как подходящая модель, описывающая полученное эмпирическим путем распределение. Так, например, распределения случайных величин, полученные по данным примеров 1 и 2, можно трактовать как теоретические модели реальных испытаний, заключающихся в соответствующих бросаниях игральной кости.
Упражнения
 Рис. 1.23 | ||||||
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
P(X) |
P(X) | |
7 очков | |
четное число очков | |
простое число очков | |
от 7 до 10 очков | |
не меньше 9 очков | |
число очков, делящееся на 4 |
Ответ: вероятность выигрыша была
Ответ: 1)
