Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”
Распределение случайной величины Х, заданное, например, таблицей
 | ||||||
можно охарактеризовать с помощью различных числовых характеристик[понятие: Числовые характеристики случайной величины (juhusliku suuruse arvkarakteristikud) – числа, характеризующие рассматриваемую случайную величину с какой-либо точки зрения, например по расположению или рассеянию ее значений.] (как и в случае частотной таблицы или таблицы распределения значений признака статистической совокупности). Три таких характеристики мы здесь рассмотрим. Первая из них, называемая средним значением[понятие: Среднее значение (или математическое ожидание) случайной величины (juhusliku suuruse keskväärtus) – число 𝐸𝑋, характеризующее расположение на числовой оси возможных значений случайной величины 𝑋 и находящееся между наибольшим и наименьшим значениями этой величины. Среднее значение дискретной случайной величины равно сумме произведений возможных значений случайной величины на соответствующие этим значениям вероятности.] или математическим ожиданием[понятие: Математическое ожидание – см. среднее значение случайной величины.], является средним значением случайной величины и отражает расположение ее значений на числовой оси. Две другие характеристики – дисперсия[понятие: Дисперсия случайной величины (juhusliku suuruse dispersioon) – среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Обозначение: 𝐷𝑋.] и стандартное отклонение[понятие: Стандартное отклонение случайной величины (juhusliku suuruse standardhälve) – корень квадратный из дисперсии 𝐷𝑋 случайной величины 𝑋. Обозначение: σ (сигма).] – характеризуют рассеяние значений случайной величины.
Средним значением (или математическим ожиданием) случайной величины Х называется число
EX = p1x1 + p2x2 + … + pnxn.
Пример 1.
Распределение числа очков, выпадающих при бросании игральной кости, приведено в таблице.
Соответствующее среднее значение
При бросании игральной кости каждый раз выпадает в среднем 3,5 очка, а при 10-кратном бросании выпадет в среднем 35 очков.
Дисперсией случайной величины Х называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения, т. е. число DX = E(X – EX)2,
или, если выписать подробнее,
DX = p1(x1 – EX)2 + p2(x2 – EX)2 + … + pn(xn – EX)2.
Пример 2.
Дисперсия числа очков Х, выпадающих при бросании игральной кости, есть
Стандартным отклонением (или средним квадратическим отклонением) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии, т. е. число
.
Пример 3.
Найдем стандартное отклонение числа очков Х, выпадающих при бросании игральной кости (см. пример 2):
σ =
Дисперсию и стандартное отклонение можно также вычислять по формулам
DX = EX2 – (EX)2.
и
.
Здесь ЕХ2 означает среднее значение квадратов значений случайной величины Х, а (ЕХ)2 – квадрат среднего значения.
Если среднее значение ЕХ и стандартное отклонение σ найдены, то среднее значение обычно записывают в виде EX = EX ± σ.
Пример 4.
Дисперсию числа очков, выпадающих на игральной кости (пример 2) можно вычислить и так:
Получили тот же результат, что и в примере 2. Следовательно, и σ ≈ 1,708.
Так как по данным примера 1 мы получили, что EX = 3,5 и σ ≈ 1,71, то среднее число очков, выпадающих на игральной кости есть EX = 3,5 ± 1,71.
Упражнения
Ответ: EX =
Ответ: EX =
Ответ: средний размер выигрыша, приходящегося на один лотерейный билет, был равен €, а стандартное отклонение составляло .
Ответ: для обоих мальчиков средний размер выигрыша равен и стандартное отклонение равно .
