Курс "Функции"
S =
S =
Формула y = ax2 + bx + c, где a, b и c – заданные числа (a ≠ 0), задает квадратичную функцию[понятие: Квадратичная функция (ruutfunktsioon) – функция, общий вид которой есть 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, где 𝑎 ≠ 0, 𝑏 и 𝑐 – действительные числа..].
Графиком квадратичной функции y = ax2 + bx + c является парабола[понятие: Парабола (parabool) – график квадратичной функции, или линия на плоскости, у которой расстояние от любой ее точки 𝑃 до некоторой фиксированной точки 𝐹 (фокуса параболы) равно расстоянию от этой точки до фиксированной прямой 𝑠 (директрисы параболы).]. Для более точного изображения параболы нужно знать координаты вершины параболы и нули квадратичной функции, т. е. абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение ax2 + bx + c = 0.
Как известно, вершина параболы[понятие: Вершина параболы (parabooli haripunkt) – точка пересечения параболы с ее осью симметрии.] расположена на оси симметрии параболы. Пусть абсцисса вершины параболы равна x0.
Вывод формулы
Выведем формулу для нахождения абсциссы х0. Выберем на параболе две точки P1(x0 – k; y1) и P2(x0 + k; y2), симметричные относительно ее оси (рис. 2.6). Тогда ординаты этих точек равны, т. е. y1 = y2.
 Рис. 2.6 |
||||||
Так как
y1 = a(x0 – k)2 + b(x0 – k) + c
и
y2 = a(x0 + k)2 + b(x0 + k) + c,
то получим уравнение
a(x0 – k)2 + b(x0 – k) + c = a(x0 + k)2 + b(x0 + k) + c,
или
или –4akx0 = 2bk, откуда
Абсцисса вершины параболы . Если квадратичная функция имеет нули х1 и х2, то абсциссу вершины параболы можно найти и с их помощью: .
Как найти ординату вершины параболы у = ах2 + bx + c?
Чтобы найти формулу квадратичной функции у = ах2 + bx + c, нужно найти три различные точки, расположенные на ее графике. Для этого подходят вершина параболы и точки пересечения параболы с осью Ох. Если функция имеет только один нуль или вообще не имеет нулей, то в дополнение к вершине параболы нужно найти еще две другие точки. Координаты трех найденных точек нужно последовательно подставить в уравнение y = ax2 + bx + c и решить полученную систему уравнений.
Упражнения
1) a = 1;
2) a = –1;
3) a = 5;
4) a = –5.
Ветви каких парабол направлены вверх и каких – вниз?
Ветви направлены вверх:
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
Ветви направлены вниз:
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
Ответ: y =
Принадлежит ли этой параболе точка A(10; 80)?
Ответ: точка A этой параболе.
Ответ: y =
Ответ: мяч достигнет наибольшей высоты в момент t = . Эта наибольшая высота равна м.
Высота h (м), которой стрела достигнет через t секунд, вычисляется по формуле
Ответ: стрела упадет на землю через
