Обратная функция

Курс "Функции"

Пусть на множестве X задана некоторая функция. Тогда каждому элементу х множества X поставлен в соответствие единственный элемент у из множества Y значений этой функции.

Пример 1.

Пусть X – множество всех учеников вашей школы, а Y – множество их возрастов (в годах). На множестве X определена функция, ставящая каждому ученику в соответствие его возраст. В то же время, обратное соответствие не является функцией, поскольку в школе, вообще говоря, много учеников одного и того же возраста. Если взять некоторый элемент множества Y (некоторый возраст), то мы не можем сказать однозначно, какому конкретному ученику он соответствует.

Пример 2.

Пусть X – множество всех натуральных чисел и Y – множество квадратов этих чисел. Тогда функция у = х2 устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y: каждому числу х ∈ Х соответствует одно число у ∈ Y и обратно, каждому числу у ∈ Y соответствует единственное число х ∈ Х (такое, что х2 = у, рис. 2.31, а). Таким образом, и на множестве Y определена функция. Если же в этом рассуждении в качестве X взять множество всех целых чисел, то на множестве X будет также определена функция у = х2 с тем же множеством значений Y. Однако теперь мы не можем аналогично определить функцию на множестве Y, так как каждое число у ∈ Y (кроме нуля) соответствует уже двум разным числам из множества X (рис. 2.31, б).

Рис. 2.31

Рассмотренные примеры 1 и 2 показывают, что если на множестве X определена некоторая функция, множеством значений которой является множество Y, то могут возникнуть две возможности:

  1. некоторые элементы множества Y соответствуют двум или нескольким элементам множества X (пример 1, рис. 2.31, б);
  2. каждый элемент у множества Y соответствует только одному элементу х множества X, или, что равносильно, разным элементам множества X соответствуют разные элементы множества Y (пример 2, рис. 2.31, а).

Пусть на множестве X определена функция y = f (x). Если каждому элементу у из множества значений Y этой функции соответствует в точности один элемент x множества X такой, что y = f (x), то такое соответствие определяет на множестве Y функцию, называемую обратной[понятие: Обратная функция (pöördfunktsioon) – функцией, обратной к данной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) является функция 𝑥 = 𝑓⁻¹(𝑦), которая ставит в соответствие каждому значению 𝑦 из множества значений 𝑌 функции 𝑓 такой элемент 𝑥 из области определения 𝑋 функции 𝑓, что 𝑦 = 𝑓(𝑥). В случае обратной функции используют также обозначение 𝑦 = 𝑓⁻¹(𝑥).] к исходной функции.

Рис. 2.32

Функция, обратная функции y = f (x), обозначается, как x = f –1(y) (рис. 2.32). Обычно и для обратной функции аргумент обозначают через x, а значение функции – через y, т. е. записывают ее в виде y = f –1(x). Областью определения обратной функции является множество значений исходной функции, а множеством значений – область определения исходной функции.

Пример 3.

Функция y = 2x + 1 имеет обратную функцию, так как для каждого значения y существует единственное значение x, при котором 2х + 1 = у (рис. 2.33, а). Функция y = x2 + 1 не имеет обратной, так как для всех y (кроме y = 1) имеются два разных значения x, при которых х2 + 1 = у (рис. 2.33, б). Однако для функции y = x2 + 1, где X = [0; ∞), существует обратная ей функция (рис. 2.33, в).

Рис. 2.33

Пример 4.

  1. Найдем функцию, обратную к функции y = 2x + 1. Для этого нужно указать правило вычисления по заданному значению y исходной функции значения x. Выразим из уравнения y = 2x + 1 переменную x:

2x=y-1, откуда ​x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}.

​Формула x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} позволяет найти значение х по известному значению y, т. е. эта формула и является формулой обратной функции (аргументом является у, а значением функции – переменная х). Обозначив аргумент буквой x, а значение функции – буквой у, мы получим, что функция, обратная к f (x) = 2x + 1, задается равенством f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2},\ или y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}. 

Графики функций изображены на рисунке 2.34, а.

Рис. 2.34
  1. Рассмотрим функцию y=x^2. В примере 3 мы выяснили, что у этой функции существует обратная к ней функция, заданная на множестве X = [0; ∞). Чтобы найти обратную функцию, выразим из равенства y=x^2 переменную х и получим x=\sqrt{y}. После замены обозначений получим, что для функции y=x^2 обратной функцией, заданной на множестве X = [0; ∞), является функция y=\sqrt{x}, или y=x^{\frac{1}{2}} (рис. 2.34, б). Полученная функция также является степенной функцией с показателем \frac{1}{2}.
Рис. 2.35

На рисунке 2.34, а) видно, что на графике функции y = f (x) расположена точка (0; 1), а на графике обратной функции y = f −1(x) – точка (1; 0); на графике функции y = f (x) имеется точка (1; 3), а на графике обратной функции y = f −1(x) – точка (3; 1).

Найдите пары точек с такими свойствами на рисунке 2.34, б). Точки с какими координатами расположены одновременно на графике функции y = f (x) и на графике функции y = f −1(x)?

Вообще, если на графике функции y = f (x) расположена точка (a; b), то на графике обратной функции y = f −1(x) расположена точка (b; a), см. рис. 2.35.

Графики функции y = f(x) и обратной ей функции y = f –1(x) симметричны друг другу относительно прямой у = х. Всякая возрастающая и всякая убывающая функция имеют обратную функцию.

В самом деле, если функция, например, возрастает на всей области определения, то разным значениям х соответствуют разные значения у и, наоборот, разным значениям у соответствуют разные значения х.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Взаимно однозначное соответствие:

  • a)
  • б)
  • в)
  • г)
  • д)
  • е)

Существует обратная функция:

  • a)
  • б)
  • в)
  • г)
  • д)
  • е)

y=-0,5x-2

Обратная функция: y = 

y=-8x-5

Обратная функция: y = 

y=\frac{x-3}{2}

Обратная функция: y = 

y=\frac{1}{3}x-5

Обратная функция: y = 

y=x^2-3

Обратная функция: y = 

y=\frac{-x}{4}

Обратная функция: y = 

y=-0,5x^2, x\ge0

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

y=-x+6

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

y=-x^2+4, x\le0

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

y=x^3

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

  1. Начертите (с помощью компьютера) график функции y=\frac{2}{x-1}. Найдите область определения X и множество значений Y этой функции.
    Ответ: X = ; Y = .
  2. Найдите для данной функции обратную функцию и постройте ее график.
    Ответ: обратной функцией является .
  3. Найдите область определения и множество значений обратной функции.
    Ответ: X = ; Y = .

Данная функция

Обратная функция

y=-x+3

y = 

y=\frac{2}{x}

y = 

y=\frac{1-x}{1+x}

y = 

Приведите примеры функций, обладающих свойством, подмеченным для приведенных выше функций.

Seotud sisu
Muud tegevused