Курс "Функции"
Некоторые из рассмотренных выше функций обладают следующей особенностью: их графики симметричны либо относительно оси ординат, либо относительно начала координат. Например, графики функций y = x2 и y = x−2 таковы, что при симметричном отражении относительно оси Оу получаются те же самые графики. Функции, обладающие таким свойством, называются четными.
Функция y = f (x) называется четной[понятие: Четная функция (paarisfunktsioon) – функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), для которой 𝑓(–𝑥) = 𝑓(𝑥) при любом значении 𝑥 из области определения функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат.], если для любого x из области определения функции верно равенство f (–x) = f (x).
Данное определение подразумевает, что точки x и –x должны одновременно принадлежать области определения Х функции, т. е. что множество Х симметрично относительно начала координат О.
Убедимся, что график четной функции действительно симметричен относительно оси Оу.
ТЕОРЕМА 1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Доказательство.
Пусть функция у = f(х) четная. Нам нужно показать, что если некоторая точка Р принадлежит графику функции, то этому графику обязательно принадлежит и точка, симметричная точке Р относительно оси Оу.
Пусть P(x; y) – некоторая точка графика. Ордината этой точки есть f (x) = y. В силу четности функции f (x) = f (–x) = y, т. е. точка P'(–x; y) также принадлежит графику. Так как точки P(x; y) и P'(–x; y) симметричны относительно оси Оу (рис. 2.27), то теорема доказана. ■
Пример 1.
Выясним, являются ли функции y = 4x2 и y = 2x4 – x + 2 четными. Для этого сравним выражения f (x) и f (–x).
В первом случае получим f (x) = 4x2, f (–x) = 4(–x)2 = 4x2, т. е. f (x) = f (–x).
Во втором случае f (x) = 2x4 – x + 2, f (–x) = 2(–x)4 – (–x) + 2 = 2x4 + x + 2, т. е. f (x) ≠ f (–x).
Значит, функция y = 4x2 четная, а функция y = 2x4 – x + 2 таковой не является.
Функция y = f (x) называется нечетной[понятие: Нечетная функция (paaritu funktsioon) – функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), для которой 𝑓(–𝑥) = –𝑓(𝑥) при любом значении 𝑥 из области определения функции. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.], если для любого x из области определения функции верно равенство f (–x) = –f (x).
В этом определении также подразумевается, что область определения функции должна быть симметричной относительно начала координат.
Из равенства f (–x) = –f (x) cледует, что значения нечетной функции в точках x и –x являются взаимно противоположными числами.
Пример 2.
Выясним, являются ли функции y = 2x4 – x + 2 ja y = x3 – x нечетными. Для этого сравним выражения f (–x) и –f (x).
В первом случае получим f (–x) = 2x4 + x + 2, –f (x) = –(2x4 – x + 2) = –2x4 + x –2, т. е. f (–x) ≠ –f (x).
Во втором случае f (–x) = (–x)3 – (–x) = –x3 + x, –f (x) = –(x3 – x) = –x3 + x, т. е. f (–x) = –f (x).
Значит, функция y = 2x4 – x + 2 не является нечетной, а функция y = x3 – x нечетная.
Исследование вопроса о симметричности графика нечетной функции
Выясним вопрос о симметричности графика нечетной функции. Пусть функция y = f (x) нечетная. Выберем на графике этой функции произвольную точку A(x; f (x)). Рассмотрим теперь точку В этого графика, абсцисса которой равна –x, т. е. точку B(–x; f (–x)).
В силу нечетности функции f (–x) = –f (x) и потому точка В имеет координаты B(–x; –f (x)). Таким образом, обе координаты точек А и В являются взаимно противоположными числами. Как мы знаем, такие точки симметричны относительно начала координат (рис. 2.28).
Следовательно, мы доказали следующую теорему.
ТЕОРЕМА 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
На рисунке 2.29 изображен график одной четной функции y = g(x) и одной нечетной функции y = f(x). Первый график (слева) симметричен относительно оси Оу (так как значения функции в точках х и –х равны). Второй же график симметричен относительно начала координат (значения функции в точках х и –х являются взаимно противоположными числами).
Если функция не является четной, то из этого не следует, что она нечетная. Большинство функций как раз не принадлежат рассматриваемым видам функций. В последнем случае говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.
