Логарифмирование и потенцирование выражений

Курс "Функции"

Рассмотрим некоторые свойства логарифма. Напомним, что логарифм можно найти только для положительного числа, т. е. все приведенные ниже свойства выполнены только для случая положительных чисел под знаком логарифма.

Свойства логарифма

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, т. е.
loga N1N2 = loga N1 + loga N2.

Пример 1.

Вычислим log 200, если известно, что log 2 ≈ 0,3010. Так как 200 = 2 · 100, то

log 200 = log (2 ⋅100) = log 2 + log 100 ≈ 0,3010 + 2 = 2,3010.

2. Логарифм частного равен разности логарифма делимого и логарифма делителя, т. е.
​logaN1N2=logaN1-logaN2.

Пример 2.

Вычислим log 0,0002, если известно, что log 2 ≈ 0,3010. Так как 0,0002 = 2 : 10 000, то

\log0,0002 = \log\frac{2}{10\ 000} = \log2-\log10\ 000 ≈ 0,3010-4 = -3,6990.

3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания, т. е. ​loga Nc = c log a N.

Пример 3.

Вычислим \log\sqrt[3]{2}, если известно, что log 2 ≈ 0,3010. Поскольку \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}, то

​\log\sqrt[3]{2} = \log2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\log2 ≈ 0,1003.

Полученными формулами пользуются также при логарифмировании выражений[понятие: Логарифмирование выражения (avaldise logaritmimine) – выражение логарифма выражения через логарифмы его составляющих.], т. е. в тех случаях, когда логарифм данного выражения нужно выразить через логарифмы его составляющих.

Пример 4.

Прологарифмируем выражение y по основанию a, если y=\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} и x, u, v > 0:

\log_ay = \log_a\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} = \log_a49x^3-\log_a8u^5\sqrt[3]{v^2} = \log_a49+\log_ax^3-\left(\log_a8+\log_au^5+\log_av^{\frac{2}{3}}\right) = 2\log_a7+3\log_ax-3\log_a2-5\log_au-\frac{2}{3}\log_av.

Пример 5.

Вычислим десятичный логарифм выражения 4u4v5, если известно, что log 2 ≈ 0,3010, log u = 2,5 и log v = –3. Получим:

\log4u^4v^5 = \log4+\log u^4+\log v^5 = 2\log2+4\log u+5\log v ≈ 2\cdot0,3010+4\cdot2,5+5\cdot\left(-3\right) = -4,3980.

Пример 6.

Решим показательное уравнение 3x = 23,5.

Прологарифмируем обе части данного равенства по основанию 10. В результате получим равенство

\log3^x=\log23,5 ⇒ x\log3=\log23,5, откуда x=\frac{\log23,5}{\log3}\approx2,874.

Пример 7.

Средний годовой прирост населения Африки в 1970–2006 годах составлял 2,62%, и к 2006 году численность этого населения была 925 миллионов человек. Найдем, к какому году численность населения Африки удвоится, возрастая такими же темпами.

Так как численность населения возрастает по закону сложных процентов, то она выражается показательной функцией y = 925 · 1,0262x. По условию задачи население Африки должно удвоиться, следовательно, 925 · 1,0262x = 2 · 925, откуда 1,0262x = 2.

Прологарифмируем последнее равенство по основанию 10: log 1,0262x = log 2. По свойству логарифма степени получим: x log 1,0262 = log 2 и x = log 2 : log 1,0262 ≈ 26,8. Таким образом, в сравнении с 2006 годом, население Африки удвоится в 2033 году.

Нахождение выражения или числа по его логарифму называется потенцированием[понятие: Потенцирование выражения (avaldise potentseerimine) – отыскание выражения по его логарифму.]. При преобразовании выражений, содержащих логарифмы, часто приходится пользоваться приведенными в свойствах 1–3 формулами, читая их справа налево.

Пример 8.

Найдем число x, если log9 x = 2,5.

Чтобы найти x, выполним потенцирование равенства log9 x = 2,5. В результате получим, что x = 92,5, или x = 35 = 243.

Пример 9.

Найдем выражение z, если \log_7z=6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w.

Для нахождения выражения z преобразуем правую часть данного равенства:

6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w = \log_72^6+\log_7u^3+\log_7v^{\frac{2}{3}}-\log_7w^4 = \log_764u^3\sqrt[3]{v^2}-\log_7w^4 = \log_7\frac{64u^{3\sqrt[3]{v^2}}}{w^4}.

Потенцируя равенство \log_7z=\log_7\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4}, получим:

z=\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

xy^2, если a = 10

8x^{-4}y^6, если a = e

u^9:\ c^3, если a = e

b^2\left(c^5b^8\right), если a = 10

27x^{12}y^5z^{-3}, если a = 10

81u^{1,5}\sqrt{v^5}, если a = e

\log32 =  = 

\log0,04 =  = 

\log\sqrt{5} =  = 

\log\sqrt[5]{2} =  = 

\log\sqrt[3]{5} =  = 

\log\sqrt[4]{2} =  = 

\log\frac{2}{5} =  = 

\log\frac{25}{128} =  = 

\log\left(2^{-7}\cdot5^4\right) =  = 

\log12,5 =  = 

\log0,8 =  = 

\log100 =  = 

Число

Десятичный логарифм числа

19,5

195

1950

19 500

Число

Десятичный логарифм числа

0,195

0,00195

1,95 ⋅ 10–10

19,55

\log x=0,51\log a
x = 

\log x=3\ \log a+\log b
x = 

\log x=-\log u
x = 

\log x=2\ \log u-3\log v
x = 

\log x=0,5\log a+5\log b
x = 

\log x=u\log2-2\log u
x = 

\log x=1+\log b-\log a
x = 

\log x=3-\log5-\log c
x = 

\ln x=5\ln2\ +3\ln a
x = 

\ln x=4\ln a+\ln\left(a+b\right)
x = 

\log_7x=\log_7c-3\log_7b
x = 

\log_2x=0,25\log_216-\log_2a
x = 

\log x=2\log7+\log2
x = 

\log2-\log x=\log3
x = 

\log_4x=3\log_42+\frac{2}{3}\log_45
x = 

\log_2x+4\log_23-1=0
x = 

\ln3+\frac{1}{2}\ln5+\frac{1}{2}\ln x=\ln6
x = 

\ln x-\ln\left(x-1\right)=\ln2
x = 

5\log_2x=3\log_2x+6
x = 

2\log x-\log12=\log x
x = 

Ответ: численность населения Африки в конце 2016 года по прогнозу должна была быть миллиарда, что было на %  действительной численности населения.

Ответ: средний годовой прирост населения Европы составлял %. При таком же темпе прироста чмсленность населения Европы удвоится через  лет.

Vastus. Euroopa rahvastik kasvas keskmiselt % aastas. Kasvu senisel jätkumisel kahe­kordistub Euroopa rahva­arv  aastaga.

Ответ: он сможет купить этот автомобиль через  лет.

Рис. 2.47

Ответ: a = , b = 

y = 

Вычислите по формуле длину тормозного пути автомобиля в целых метрах, округляя результаты вверх до ближайшего числа, оканчивающегося нулем или 5, если скорость равна 40 км/ч, 65 км/ч, 95 км/ч, 120 км/ч, и сравните полученные результаты с найденными с помощью чертежа.

Ответ: при скорости 40 км/ч длина тормозного пути будет м; при скорости 65 км/ч  – м; при скорости 95 км/ч –  м; при скорости 120 км/ч –  м.

  • На основании этой таблицы постройте график зависимости температуры остывающей воды от времени.
  • Предполагая, что эта зависимость выражается в виде T = ae–bt, где переменная t обозначает время и T – температуру, найдите параметры a и b.

    Ответ: a = °, b = 
  • Вычислите температуру воды через 2; 15; 43; 50 минут после начала остывания.

    Ответ: если после начала остывания прошло 2 минуты, то температура воды будет °; если 15 минут, то °; если 43 минуты, то °; если 50 минут, то °.
Рис. 2.47

Ответ: максимальная безопасная скорость может быть примерно  км/ч.

Ответ: k = . Масса бактерий удваивается за  ч.

Seotud sisu
Muud tegevused