Логарифмическая функция

Курс "Функции"

Найдем функцию, обратную к показательной функции у = ах. Для этого выразим аргумент х (показатель степени) через значение функции у (т. е. через значение степени): x = loga y. Полученное равенство ставит в соответствие каждому значению у единственное значение переменной х, т. е. мы имеем дело с функцией. Обозначив независимую переменную через х, а значения функции – через у, получим функцию у = loga х. Полученная логарифмическая функция[понятие: Логарифмическая функция (logaritmfunktsioon) – определенная на множестве положительных действительных чисел функция 𝑦 = logₐ 𝑥, где 𝑎 > 0 и 𝑎 ≠ 1. Функция, обратная к показательной функции 𝑦 = 𝑎ˣ.] определяется для основания a > 0, a ≠ 1 и при х > 0.

Логарифмической функцией называется функция y = loga x, где a > 0 и a ≠ 1.

Логарифмическая функция является обратной к показательной функции y = ax с основанием а.

Например, обратной функцией для показательной функции y = 3x является логарифмическая функция y = log3 x.

Так как логарифмическая функция является обратной к показательной, то график логарифмической функции получается из графика показательной функции с тем же основанием с помощью симметричного отображения относительно прямой y = x. Поэтому графики функций y = loga x и y = ax симметричны друг другу относительно указанной прямой (рис. 2.48 и 2.49).

Рис. 2.48
Рис. 2.49

По той же причине областью определения функции y = loga x служит множество значений показательной функции, а множеством значений – область определения показательной функции, т. е. X = R+ и Y = (−∞; +∞) = R.

Опишем общие свойства графика логарифмической функции (рис. 2.50).

  1. График функции проходит через точку (1; 0), расположенную на оси Ох, т. е. нулем функции является x = 1.
  2. Асимптотой графика является ось Оу.
  3. График проходит через точку (a; 1), так как loga a =1.
Рис. 2.50

С помощью графика (рис. 2.50) опишем свойства логарифмической функции, которые зависят от основания логарифма а.

  1. Если a > 1, то функция y = loga x обладает следующими свойствами.
    1. Областью положительности X+ является интервал 1 < x < ∞, или X+ = (1; ∞).
      Областью отрицательности X– является интервал 0 < x < 1, или X– = (0; 1).
    2. Функция возрастает на всей области определения, т. е. на интервале 0 < x < ∞, или X↑ = X = R+.
    3. При неограниченном увеличении аргумента x значения loga x также неограниченно увеличиваются, т. е. если x → ∞, то y → ∞. Если значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, то значения loga x неограниченно уменьшаются, т. е. если x → 0, то y → −∞.
  2. Если 0 < a < 1, то функция y = loga x обладает следующими свойствами.
    1. Областью положительности X+ является интервал 0 < x < 1, или X+ = (0; 1).
      Областью отрицательности X– является интервал 1 < x < ∞, или X– = (1; ∞).
    2. Функция убывает на всей области определения, т. е. на интервале X↓ = X = R+.
    3. При неограниченном увеличении аргумента х значения loga x неограниченно уменьшаются, т. е. если x → ∞, то y → − ∞. Если значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, то значения loga x неограниченно увеличиваются, т. е. если x → 0, то y → ∞.

Графики логарифмических функций y = log x и y = ln x изображены на рисунке 2.51. На рисунке также видно, как влияет на график логарифма увеличение его основания.

Рис. 2.51

Пример 1.

Выясним, положительными или отрицательными являются данные числа: 1) log5 0,6; 2) log0,8 9; 3) ln 2.

Воспользуемся свойствами или, что еще лучше, графиком соответствующей логарифмической функции (рис. 2.50).

  1. a = 5 > 1, следовательно, значение аргумента х = 0,6 принадлежит области отрицательности функции y = log5 x. Поэтому log5 0,6 < 0.
  2. log0,8 9 < 0, так как a = 0,8 < 1, и потому значение аргумента х = 9 принадлежит области отрицательности функции y = log0,8 x.
  3. ln 2 > 0, так как значение х = 2 принадлежит области положительности функции y = ln x, как видно на рисунке 2.51.

Пример 2.

Выясним, что больше: 1) log 2 или log 6; 2) log0,2 3 или log0,2 0,7.

  1. Так как а = 10 > 1, то функция у = log x является возрастающей, и потому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Значит, log 2 < log 6.
  2. Так как а = 0,2 < 1, то функция y = log0,2 x является убывающей, и потому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит, log0,2 3 <  log0,2 0,7.

Пример 3.

Найдем область определения функции y = log (x2 − x3). Областью определения этой функции является множество всех таких значений x, для которых можно вычислить значение функции.

Так как логарифмируемое число всегда должно быть положительным, то получим:

x^2−x^3>0 или x^2(1-x)>0.

Множитель x2 всегда неотрицателен, кроме того, х ≠ 0, так как в противном случае нельзя вычислить значение логарифма. При этом условии 1 – x > 0, откуда x<1. Поскольку x ≠ 0, то область определения X данной функции состоит из двух интервалов: X=\left(-∞;\ 0\right)\cup\left(0;\ 1\right).

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Данная функция

Обратная функция

y=6^x

y = 

y=0,3^x

y = 

y=2^{3x}

y = 

Данная функция

Обратная функция

y=0,6^{2x}

y = 

y=2^{-x}

y = 

y=e^x

y = 

Данная функция

Обратная функция

y=\log_8x

y = 

y=\log_{1,2}x

y = 

y=\log_{0,1}x

y = 

Рис. 2.51

Каковы у этих функций их области определения, нули, области положительности и отрицательности, интервалы возрастания и убывания? Есть ли у них точки экстремума?

X

X_0

X^+

X^-

X\uparrow

X\downarrow

X_э

y=\ln x

y=\log x

Рис. 2.50

Ответ: если a > 1, то основанием логарифмической функции на рисунке будет a =  , а если 0 < a < 1, то на рисунке a = .

Ответ: X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_э = .

Ответ:X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_э = .

Ответ: X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_э = 

\log_46 – 

\log_27 – 

\log_50,49 – 

\log_{0,83}4 – 

\log_{0,2}0,7 – 

\log_41 – 

\log0,6 – 

\log9 – 

\ln3 – 

\ln0,4 – 

\ln0,7 – 

\log66 – 

\log_23  \log_210

\log_50,9  \log_54

\log_{0,5}0,6  \log_{0,5}6

\log_{0,1}10  \log_{0,1}8

\log_{\sqrt{2}}1  \log_{\sqrt{2}}0,7

\log\frac{1}{7}  \log7

\log0,73  \log0,74

\ln5  \ln6

\ln0,125  \ln2^{-3}

\ln2^{-7}  \ln2^{-6}

Данная функция

Область определения

\log_ax

\log_a\left(-x\right)

\log_a\left(x+4\right)

Данная функция

Область определения

\log\left(x^2-1\right)

\log_ax^2

\log_a\left(2x-3\right)

Данная функция

Область определения

\log_3\left(x^2-10x+21\right)

\log_28x

\ln\left(x^2+5x\right)

Seotud sisu
Muud tegevused