Курс „Последовательности. Производная функции”
Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (C. F. Gauss, 1777–1855) проявил свои математические способности уже в 9-летнем возрасте. Учитель предложил классу найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, рассчитывая, что это займет у учеников не менее часа. Каково же было его изумление, когда маленький Гаусс немедленно протянул ему свою грифельную доску с правильным ответом. Каким образом Гаусс так быстро получил ответ?
Открытая Гауссом закономерность понятна, если представить все числа от 1 до 100 попарно по столбцам, в нижних частях столбцов числа от 1 до 50, а в верхних – числа от 51 до 100 (рис. 3.5). Мы видим, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101. Поскольку таких сумм всего 50, то ответом в задаче будет 50 · 101 = 5050.
 Рис. 3.5 |
||||||
Гаусс подметил, что в сумме 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 суммы чисел, равноудаленных от концов этого ряда, равны между собой.
ТЕОРЕМА. Для n первых последовательно взятых членов арифметической прогрессии сумма членов, равноудаленных от концов, является величиной постоянной и равна сумме первого и последнего членов.
*Доказательство.
Пусть даны n последовательных членов арифметической прогрессии (an), т. е.
a1, a2, a3, …, an–2, an–1, an.
Сумма первого и последнего членов этой цепочки есть a1 + an. Рассмотрим сумму второго от начала члена, т. е. а2, и второго от конца члена, т. е. an – 1. Получим
a2 + an–1 = a1 + d + an – d = a1 + an.
Продолжая далее, мы видим, что k-й от начала член есть ak. Индекс второго от конца члена равен n – 1, индекс третьего от конца члена равен n – 2 и, наконец, индекс k-го от конца члена равен n – (k – 1) = n – k + 1. По формуле общего члена прогрессии получим:
ak = a1 + (k – 1)d, an–k+1 = a1 + [(n – k + 1) – 1]d = a1 + (n – k)d,
следовательно,
ak + an–k+1 = a1 + (k – 1)d + a1 + (n – k)d = a1 + kd – d + a1 + nd – kd = a1 + a1 + (n – 1)d = a1 + an. ♦
С помощью этого свойства выведем формулу для вычисления суммы Sn первых n членов арифметической прогрессии. Представим сумму Sn двумя способами: первый раз запишем слагаемые в их естественном порядке, а второй раз – в обратном порядке.
(1) Sn = a1 + a2 + a3 + … + an–2 + an–1 + an
(2) Sn = an + an–1 + an–2 + … + a3 + a2 + a1
По только что рассмотренной теореме сумма записанных одно под другим слагаемых является неизменной величиной a1 + an. Так как таких сумм можно образовать n штук, то, сложив равенства (1) и (2), получим:
.
Поскольку
.
Последняя формула позволяет вычислить сумму n первых членов прогрессии, зная ее первый член и разность. Если
Пример 1.
Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + n.
Слагаемые представляют собой n последовательных членов арифметической прогрессии, у которой
Поэтому
Пример 2.
Найдем сумму всех нечетных натуральных чисел, меньших 100. Первое из этих чисел
Пример 3.
Торговая сеть взяла на продажу 10 000 единиц нового товара. В первую неделю продали 800 этих новинок, а в каждую следующую неделю продавали на 25 изделий меньше, чем за предыдущую неделю. 1. Сколько изделий продали за 12-ю неделю? 2. Сколько изделий остались непроданными к концу 12-й недели?
Количества проданных за каждую неделю изделий образуют арифметическую прогрессию, в которой
- Число изделий, проданных за12-ю неделю, можем найти по формуле.
Получим, чтоa_{12}=800+(12-1)\cdot(-25) =800-11\cdot25 = 525. - Чтобы ответить на второй вопрос, сколько изделий остались непроданными к конце 12-й недели, найдем, сколько изделий было продано за 12 недель. Это число равно сумме S12 двенадцати первых членов последовательности.
Так как нам известны как первый член последовательности a1, так и последний член a12, то целесообразно применить формулуS_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n .
Тогда получим, чтоS_{12}=\frac{800+525}{2}\cdot12 =1325\cdot6 = 7950.
Следовательно, непроданными остались еще 10 000 – 7950 = 2050 единиц нового товара.
Итак, за 12-ю неделю продали 525 единиц товара, а к концу 12-й недели непроданными остались 2050 единиц товара.
Упражнения
Ответ: за 10 секунд мяч укатится на
Ответ: часы тартуской Ратуши бьют за сутки ударов.
Ответ: между числами 100 и 1000 расположено чисел, делящихся на 7. Сумма этих чисел равна .
Ответ: в фирме A он за 10 лет заработал бы €, а в фирме B за то же время – €.
Ответ: ежегодный прирост дохода был €. За все 11 лет акционер получил € дохода.
Ответ: штабель из 120 труб содержит рядов, а в основание этого штабеля уложено труб. Высота штабеля будет м.
Ответ: в прогрессии нужно взять членов.
Ответ: туристы прибыли в пункт назначения в .
Ответ: это произойдет на день и к этому времени он сделает всего шагов.
Ответ: за бурение колодца глубиной 23 м Андрес должен заплатить €.
Ответ: первому нужно дать
