Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Курс „Последовательности. Производная функции”

В старинной индийской легенде рассказывается о том, что восхищенный шахматной игрой раджа Шеран решил вознаградить мудреца, который изобрел шахматы, и обещал выполнить одно любое его желание. Решив преподнести радже еще один урок, мудрец попросил подарить ему столько пшеничных зерен, сколько их поместится на шахматной доске. При этом на первую клетку нужно положить одно зерно, на вторую – два зерна, на третью – четыре зерна, на четвертую – восемь и т. д., и вообще, на каждую следующую клетку нужно положить в 2 раза больше зерен, чем на предыдущую. Удивленный этой скромной, как ему казалось, просьбой, раджа решил, что ему ничего не стоит ее выполнить. Так ли это?

Количества зерен, которые нужно поместить на клетки шахматной доски, являются членами геометрической прогрессии 1; 2; 4; 8; …; 2^n–1; … Общее число зерен – это сумма 64 первых членов прогрессии, т. е.

1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶³.

Если q ≠ 1, то из последнего равенства выразим сумму n первых членов геометрической прогрессии:

Преобразовав последнюю формулу, получим формулу, в которой S_n выражается через а₁ и а_n:

S_n = \frac{a_1q^n-a_1}{q-1} = \frac{a_1q^{n-1}q-a_1}{q-1} = \frac{a_nq-a_1}{q-1}, т. е.