Геометрическая прогрессия и ее общий член

Курс „Последовательности. Производная функции”

2; 4; 8; 16; 32; ; ; …

1; 2; 4; 8; 16; ; ; …

2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; ; ; …

–3; –32; –33; –34; –35; ; ; …

  1. Найдите закономерности, по которым составлены эти последовательности, и продолжите последовательности.
  2. Что общее можно подметить у этих последовательностей?
  3. Найдите формулу общего члена каждой последовательности.

2; 4; 8; 16; 32; …

an = 

1; 2; 4; 8; 16; …

an = 

2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; …

an = 

–3; –32; –33; –34; –35; …

an = 

Последовательность, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным, называется геометрической прогрессией[понятие: Геометрическая прогрессия (geomeetriline jada) – последовательность, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным.] (или геометрической последовательностью).

Таким образом, если (an) есть геометрическая прогрессия, то отношение \frac{a_n}{a_{n-1}} является постоянной величиной при любом n>1. Это отношение называется знаменателем прогрессии[понятие: Знаменатель геометрической прогрессии (geomeetrilise jada tegur) – число 𝑞 ≠ 1, равное отношению между последующим и предыдущим членами этой прогрессии.] и обозначается буквой q. Значит, \frac{a_n}{a_{n-1}}=q, или a_n=a_{n-1}q.

Например, если в геометрической прогрессии a_1=6 и q=2, то мы получим последовательность 6; 12; 24; 48; … . Если  a_1=3 и q=1, то получим постоянную последовательность 3; 3; 3; … .

Если в геометрической прогрессии (an) известны ее первый член a1 и знаменатель q, то можно найти любой член этой прогрессии:

a_2=a_1q, a_3=a_2q=a_1qq=a_1q^2, a_4=a_3q=a_1q^2q=a_1q^3, … ,

так что в общем виде: a_n=a_1q^{n-1}.

Общий член геометрической прогрессии[понятие: Общий член геометрической прогрессии (geomeetrilise jada üldliige) – соответствующий произвольному порядковому номеру 𝑛 член 𝑎ₙ геометрической прогрессии выражается через первый член 𝑎₁ и знаменатель 𝑞 прогрессии в виде 𝑎ₙ = 𝑎₁𝑞ⁿ⁻¹.] (an) выражается в виде an = a1qn–1.

Пример 1.

Найдем знаменатель q геометрической прогрессии, если даны ее члены a_5=16 и a_1=81.

Так как a_n=a_1q^{n-1}, то a_5=a_1q^4. Поэтому 16=81q^4, откуда q^4=\frac{16}{81} и q=\pm\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\pm\frac{2}{3}. Значит, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условию задачи:

  1. 81; –54; 36; –24; 16; …; 81\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}; …
  2. 81; 54; 36; 24; 16; …; 81\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}; …

Пример 2.

Холерная бактерия каждые полчаса делится пополам. Сколько холерных бактерий образуется из одной бактерии за 5 часов?

Размножение одной бактерии показано на рисунке 3.7. Через полчаса из одной бактерии образуется 2 бактерии, через следующие полчаса бактерий будет 4 и т. д. Возникает геометрическая прогрессия, в которой kus a_1=1, и q=2. Так как a1 – число бактерий перед началом отсчета времени, то нужно найти a11. Получим:

a_{11}=a_1q^{10}=1\cdot2^{10}=1024.

Рис. 3.7

Ответ: через 5 часов будет 1024 бактерии.

Пример 3.

Спортсмен должен каждый день делать упражнения для тренировки некоторых мышц. Он начал с 15-минутной тренировки и в каждый следующий день увеличивает продолжительность тренировки на 10% по сравнению с предыдущим днем. Сколько времени будет продолжаться тренировка на 20-й день?

Убедимся сначала, что последовательные продолжительности тренировок образуют геометрическую прогрессию. На второй день продолжительность тренировки увеличивается на 10%, т. е. на \frac{10}{100}\cdot15=0,1\cdot15 минут. Следовательно, во второй день тренировка будет продолжаться 15+0,1\cdot15=15\left(1+0,1\right)=1,1\cdot15 минут. Так получается последовательность 15; 15; 1,1 · 15; 1,12 · 15 и т.д. Очевидно, что это геометрическая прогрессия с первым членом a_1=15 и знаменателем q=1,1.

Теперь из формулы a_{20}=a_1q^{20-1} найдем, что на 20-й день тренировка будет продолжаться 15\cdot1,1^{19}\approx92 минуты.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

          • -16; -8; -4; -2; …
          • -8; -8; -8; -8; …
          • 13; 16; -23; -116; ...
          • -24; -16; -8; 0; …
          • 7; 7; 77; 49; ...
          • 13; -16; 112; -124; ...
          • 1; 3; 9; 27; …
          • 1; 2; 3; 4; …
          • 0,2; 0,6; 1,8; 5,4; …
          • 12; 13; 14; 15; ...

          Геометрическая прогрессия

          Знаменатель прогрессии

          1; 3; 9; 27; …

          q = 

          \frac{1}{3};\ \frac{-1}{6};\ \frac{1}{12};\ \frac{-1}{24};\ \dots

          q = 

          \sqrt{7};\ 7;\ 7\sqrt{7};\ 49;\ \dots

          q = 

          0,2; 0,6; 1,8; 5,4; …

          q = 

          –16; –8; –4; –2; …

          q = 

          –8; –8; –8; –8; …

          q = 

          a1 = 1, q = 2

          Ответ: an = , a6 = .

          a1 = 2, q = –3

          Ответ: an = , a6 = .

          a1 = 0,125, q = –4

          Ответ: an = , a6 = .

          a1 = –10, q = 0,5

          Ответ: an = , a6 = .

          a_1=-\frac{5}{6}, q=-\frac{3}{5}

          Ответ: an = , a6 = .

          a1 = 51, q = 10–1

          Ответ: an = , a6 = .

          q = 5, a3 = 125

          Ответ: a1 = 

          q = –0,2, a5 = 12

          Ответ: a1 = 

          q = –1, a20 = 7

          Ответ: a1 = 

          q = 2, a8 = 720

          Ответ: a1 = 

          q=\sqrt{3}, a5 = 24

          Ответ: a1 = 

          q=-\sqrt{5}, a_6=75\sqrt{5}

          Ответ: a1 = 

          a2 = 6, a4 = 24

          Ответ: a9 =  или a9 = 

          a3 = –9, a5 = –81

          Ответ: a9 = 

          a5 = 2, a_{10}=\frac{1}{16}

          Ответ: a9 = 

          a_5=\frac{1}{40}, a_8=\frac{1}{40000}

          Ответ: a9 = 

          Ответ: эти числа есть  и .

          Ответ: эти числа есть ,  и .

          Ответ: на высоте 64 км атмосферное давление равно  мм рт. ст.

          Ответ: периметр треугольника Т5 равен  см.

          Ответ: к этому времени «новость» узнают   человек.

          Ответ: через 10 лет в лесу будет  кубометров древесины.

          Ответ: вклад вырастет до  евро.

          Ответ: численность населения Индии была бы в этом случае  миллиардов человек. В действительности эта численность была  миллиарда.

          1. a_1=1, q=2
          1. a_1=8, q=\frac{1}{2}
          1. a_1=\frac{1}{4}, q=4
          1. Запишите 6 первых членов каждой прогрессии.
          2. Выясните, как выражаются члены этих геометрических прогрессий (начиная со второго) через два соседних члена.
          3. Докажите найденную закономерность.
          4. Как вы думаете, от чего получила свое наименование геометрическая прогрессия?

          Ответ: первыми членами этой геометрической прогрессии являются ; ; ; ; …

          Указание
          Составьте два уравнения, вынесите во втором уравнении q3 за скобки и значение оставшегося в скобках выражения подставьте из первого уравнения.
          Seotud sisu
          Muud tegevused