Некоторые важные пределы

Курс „Последовательности. Производная функции”

Некоторые пределы часто применяются в математике. Рассмотрим два таких предела.

1. Рассмотрим числовую последовательность с общим членом a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n. Некоторые первые члены этой последовательности есть

a_1=2, a_2=1,5^2=2,25, a_3=\left(1+\frac{1}{3}\right)^3\approx2,3704, a_4=1,25^4\approx2,4414.

Но к чему приближаются значения выражения \left(1+\frac{1}{n}\right)^n, если n\to∞? Чтобы выяснить это, будем придавать величине n все бóльшие значения, вычисляя значения а_n.

Число, к которому приближаются значения а_n, обозначают символом е. Для приближенного значения числа π все должны помнить три цифры (π ≈ 3,14) и для значения числа е следует запомнить также три цифры: e ≈ 2,72. В более длинной записи это число[cноска: Первым исследовал предел последовательности швейцарский математик Якоб Бернулли (Jacob Bernoulli). Обозначение е ввел в употребление в 1736 г. математик швейцарского происхождения Леонард Эйлер (Leonhard Euler, работал в Петербурге и в Берлине), в честь которого число е называют числом Эйлера. Поскольку число е является основанием натурального логарифма и первые таблицы именно таких логарифмов были составлены шотландским математиком Непером (John Napier), то число е называют также константой Непера.] e = 2,71828182845…

Таким образом, $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$$, где n ∈ N.

Если в выражении общего члена заменить n на произвольный положительный аргумент х, т. е. рассмотреть функцию y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x, где x ∈ R⁺, x ≠ 0, то

2. Найдем теперь предел $$ \underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin} x}{x}$$. Для этого воспользуемся последовательностями.

Таким образом,

Данный пример показывает, что и $$ \underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{tan} x}{x}=1$$.

Из равенства $$ \underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin} x}{x}=1$$ следует, что при достаточно малых величинах угла х (в радианах) справедливо приближенное равенство \frac{\sin x}{x}\approx1, иначе говоря,

На основании примера 1 получим, что

На практике можно считать, что \sin x=x и \tan x=x, если 0\le x<0,0870.