Приращение функции

Курс „Последовательности. Производная функции”

Пусть дана некоторая функция y = f(x). Возьмем некоторое значение x1 ее аргумента (которое будем считать начальным) и другое значение x2 (которое будем считать конечным). Разность x2 – x1 этих значений называется приращением аргумента[понятие: Приращение аргумента (argumendi muut) – разность Δ𝑥 = 𝑥₂ – 𝑥₁ двух значений 𝑥₁ и 𝑥₂ аргумента функции.] и обозначается символом[cноска: Δ – дельта, четвертая заглавная буква греческого алфавита.] Δx (читается: дельта икс). Таким образом,

Δx = x2 – x1, откуда x2 = x1 + Δx.

Приращение аргумента Δx может быть как положительным, так и отрицательным (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Новое значение f(x2) функции y = f(x) отличается от прежнего значения на величину f(x2) – f(x1), которая называется приращением функции[понятие: Приращение функции (funktsiooni muut) – разность Δ𝑦 = 𝑓(𝑥₂) – 𝑓(𝑥₁) двух значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), соответствующая двум значениям 𝑥₁ и 𝑥₂ аргумента. Если обозначить Δ𝑥 = 𝑥₂ – 𝑥₁, то Δ𝑦 = 𝑓(𝑥₁ + Δ𝑥) – 𝑓(𝑥₁).] и обозначается символом Δy. Таким образом (рис. 3.10 и 3.11),

Δy = y2 – y1 = f (x2) – f (x1).

Рис. 3.10
Рис. 3.11

Приращение Δy также может быть как положительным (рис. 3.10), так и отрицательным (рис. 3.11), а также равным нулю, если f(x2) = f(x1).

Пример 1.

Найдем приращения аргумента и функции, если y=3x^2-1, x_1=3, x_2=5.

Приращение аргумента \Delta x=5-3=2. Соответствующее приращение функции

\Delta y=y_2-y_1 = \left(3\cdot5^2-1\right)-\left(3\cdot3^2-1\right) = \left(75-1\right)-\left(27-1\right) = 48.

Рис. 3.12

При данных начальном значении аргумента х и приращении аргумента Δx конечное значение аргумента есть x + Δx (рис. 3.12). Соответствующие значения функции есть f(x) и f(x + Δx) следовательно,

Δy = f(x + Δx) – f(x).

Пример 2.

Найдем общее выражение приращения функции y = 2x2 + 3x – 4.

Так как \Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right), то в случае данной функции:

\Delta y = \left[2\left(x+\Delta x\right)^2+3\left(x+\Delta x\right)-4\right]-\left(2x^2+3x-4\right) = 2x^2+4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2+3x+3\Delta x-4-2x^2-3x+4 = 4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.

Ответ: приращение функции выражается в виде \Delta y=4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.

Пример 3.

Вычислим приращение функции y=2x^2+3x-4 (см. пример 2): 1) в точке x=0, если Δx = 2; 2) в точке x = 2,2, если Δx = 0,9.

Воспользуемся полученной в предыдущем примере формулой Δy = 4xΔx + 3Δx + 2(Δx)2:

  1. Δy = 4 ⋅ 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 22 = 14;
  2. Δy = 4 ⋅ 2,2 ⋅ 0,9 + 3 ⋅ 0,9 + 2 ⋅ 0,92 = 12,24.

Отношение \frac{\Delta y}{\Delta x} выражает изменение значения функции, приходящееся на единицу изменения аргумента на отрезке с концами x и x + Δx. Такая величина может быть названа средней скоростью изменения функции[понятие: Средняя скорость изменения функции (funktsiooni muutumise keskmine kiirus) – отношение Δ𝑦:Δ𝑥, где Δ𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) – 𝑓(𝑥). Означает изменение значения функции, приходящееся на единицу изменения аргумента.] (начиная от значения х до значения x + Δx).

Пример 4.

Для рассмотренного примера 3 в случае 1) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{14}{2}=7 и в случае 2) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12,24}{0,9}=13,6.

Значит на отрезке [0; 2] средняя скорость изменения функции y = 2x2 + 3x – 4 будет меньшей, чем на отрезке [2,2; 3,1]. Это видно и на графике функции y = 2x2 + 3x – 4, так как в точке х = 0, расположенной вблизи вершины параболы (x0 = –0,75), функция возрастает медленнее, чем в более удаленной от вершины точке x = 2,2.

Пример 5.

При свободном падении длина пути, пройденного телом, выражается формулой s=\frac{gt^2}{2}, где g=9,8\mathrm{\ м}/\mathrm{с}^2 есть ускорение свободного падения и t – время падения в секундах. Найдем приращение функции s=\frac{gt^2}{2}:

\Delta s = \frac{g\left(t+\Delta t\right)^2}{2}-\frac{gt^2}{2} = \frac{g}{2}\left[t^2+2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2-t^2\right] = \frac{g}{2}\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right].

Полученная формула \Delta s=0,5g\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right] позволяет вычислить длину Δs пройденного пути, начиная с момента времени t за Δt последующих секунд.

Найдем, например, на сколько упадет тело, если t=10\ \left(с\right) и \Delta t=4\ \left(с\right):

\Delta s=0,5g\cdot\left[2\cdot10\cdot4+16\right]=48g=470,4\ \mathrm{м}.

Пример 6.

В предыдущем примере мы получили, что при свободном падении тела длина пути, пройденного телом начиная с момента времени t на промежутке длиной Δt, выражается формулой

\Delta s=0,5g\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right].

Найдем теперь формулу для вычисления средней скорости v_{ср}=\frac{\Delta s}{\Delta t} в промежутке времени длиной Δt, начиная с момента времени t:

v_{ср}=\frac{0,5g\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right]}{\Delta t} = 0,5g\left(2t+\Delta t\right).

Найдем, с какой средней скоростью падало рассмотренное в предыдущем примере тело начиная с 10-й секунды в течение 4 секунд. Так как t=10 и \triangle t=4, то

v_{ср}=0,5g\left(20+4\right)=12g = 117,6 м/с.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

f\left(2\right), f\left(-1\right), f\left(4,5\right), если y=3x-2x^2+4.

f\left(2\right) =  = 

f\left(-1\right) =  = 

f\left(4,5\right) =  = 

f\left(0,5\right), f\left(a\right), f\left(a+2\right), если y=4^x.

f\left(0,5\right) =  = 

f\left(a\right) =  = 

f\left(a+2\right) =  = 

f\left(0\right), f\left(a+1\right), f\left(x-3\right), если y=x^2-2x.

f\left(0\right) =  = 

f\left(a+1\right) =  = 

f\left(x-3\right) =  = 

f\left(2x\right), f\left(-x\right), если y=\frac{x}{2-x}.

f\left(2x\right) =  = 

f\left(-x\right) =  = 

y=x^2-3, x_1=2, x_2=3.

\Delta y =  = 

y=2x^2-4x, x_1=-2, x_2=0.

\Delta y =  = 

y=\frac{1}{x}, x_1=2, x_2=2,5.

\Delta y =  = 

y=\sin x, x_1=\frac{\pi}{6}, x_2=\frac{\pi}{4}.

\Delta y =  = 

y=x^2
\Delta y = 

y=\frac{3}{x}
\Delta y = 

y=4x-8
\Delta y = 

y=\cos x
\Delta y = 

y=e^x
\Delta y = 

y=\ln x
\Delta y = 

y=x^2 и

  1. x=1, \Delta x=0,5
    \Delta y =  = 
  2. x=-1, \Delta x=2
    \Delta y =  = 

y=\frac{3}{x} и

x=-5, \Delta x=2

\Delta y =  = 

y=4x-8 и

  1. x=-2, \Delta x=3
    \Delta y =  = 
  2. x=2,5, \Delta x=-1
    \Delta y =  = 

y=\cos x и

x=\frac{\pi}{3}, \Delta x=\frac{\pi}{6}

\Delta y =  = 

y=e^x и

  1. x=0, \Delta x=0,25
    \Delta y =  = 
  2. x=4, \Delta x=3
    \Delta y =  = 

y=\ln x и

x=0,8, \Delta x=-0,2

\Delta y =  = 

Найдите, какова средняя скорость тела:

  1. начиная с момента t = 0 в последующие 4 секунды;
    Ответ: v_{ср.} =  м/с
  2. с момента t = 4 в течение одной следующей секунды;
    Ответ: v_{ср.} =  м/с
  3. с момента t = 5 в течение 2 следующих секунд.
    Ответ: v_{ср.} =  м/с

y=x^2
vср. = 

y=\frac{3}{x}
vср. = 

y=4x-8
vср. = 

y=\cos x
vср. = 

y=e^x
vср. = 

y=\ln x
vср. = 

Seotud sisu
Muud tegevused