Производная частного

Курс „Последовательности. Производная функции”

Пусть функции y=f\left(x\right) и y=g\left(x\right) дифференцируемы в точке x, причем g\left(x\right)\ne0. Рассмотрим функцию y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} и примем к сведению правило дифференцирования частного:

[fxgx]'=f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)[gx]2.

Пример 1.

Найдем производную функции y=\frac{x^2}{x+1}.

По формуле производной частного получим:

y'=\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^' = \frac{\left(x^2\right)^'\cdot\left(x+1\right)-x^2\left(x+1\right)^'}{\left(x+1\right)^2} = \frac{2x\left(x+1\right)-x^2\cdot1}{\left(x+1\right)^2} = \frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}.

Пример 2.

Найдем производную \left(x^{-2}\right)^'.

Так как x^{-2}=\frac{1}{x^2}, то \left(x^{-2}\right)^' = \left(\frac{1}{x^2}\right)^' = \frac{1'\cdot x^2-1\cdot\left(x^2\right)^'}{\left(x^2\right)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} = -2x^{-3}.

Перед нахождением производной стóит попробовать упростить выражение функции.

Пример 3.

Найдем производную функции y=\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x}.

Поскольку \frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x} = \frac{x^2-2x\sqrt{x}+x}{x} = x-2\sqrt{x}+1,

то \left[\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x}\right]^' = \left(x-2\sqrt{x}+1\right)^' = 1-\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} = \frac{x-\sqrt{x}}{x}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

y=\frac{2x+3}{x^2}
y' = 

y=\frac{x+1}{x-1}
y' = 

y=\frac{4}{x^2}
y' = 

y=\frac{x^2-1}{x^2+1}
y' = 

y=\frac{8x}{1-3x^2}
y' = 

y=5x^{-2}
y' = 

Найдите значение производной функции y=\frac{5x}{2-3x} в точке: 1) 0; 2) 2; 3) –1.

y' = 

  1. y'(0) = 
  2. y'(2) = 
  3. y'(–1) = 

y=\frac{x^2}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\sqrt{x}+\frac{x}{\sqrt{x}}
y' = 

Найдите угловой коэффициент и уравнение касательной к графику функции y=\frac{5x}{2-3x} в точках  1) 0; 2) 2; 3) –1.

y' = 

  1. k = , y = 
  2. k = , y = 
  3. k = , y = 
Seotud sisu
Muud tegevused