Производная произведения и разности функций

Курс „Последовательности. Производная функции”

1. Производная произведения функций

Пусть функции y=f\left(x\right) и y=g\left(x\right) имеют производные в точке x. Тогда выполнено равенство, которое нужно запомнить:

[f (x) · g (x)]' = f '(x) · g (x) + f (x) · g'(x),
​производная произведения двух функций y = f(x) и y = g(x) равна сумме произведения производной первого сомножителя на второй и произведения первого сомножителя на производную второго.

Пример 1.

Найдем производную \left(x^2\right)'.

Так как \left(x^2\right)=x\cdot x, то \left(x^2\right)′ = \left(x\cdot x\right)' = x′\cdot x+x\cdot x′ = 1\cdot x+x\cdot1 = 2x.

Значит,

(x2)' = 2x.

2. Производная произведения y = c ⋅ f (x), где с – постоянная

Применим правило дифференцирования произведения, рассматривая с как постоянную функцию:

\left[c\cdot f\left(x\right)\right]′ = c′\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = 0\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = c\cdot f′\left(x\right).

Значит,

​[c · f (x)]′ = c · f '(x), 
​постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Пример 2.

Найдем производную \left(6x\right)′.

Так как 6x=6\cdot x, то \left(6x\right)′=6′\cdot x+6\cdot x′=0\cdot x+6\cdot1=6.

Пример 3.

Найдем производную \left(5x^2\right)′. 

Получим: \left(5x^2\right)′=5\cdot\left(x^2\right)′=5\cdot\left(2x\right)=10x.

Пример 4.

Найдем производную \left(\frac{4}{x}\right)'.

Так как \frac{4}{x}=4\cdot\frac{1}{x}, то \left(\frac{4}{x}\right)' = \left(4\cdot\frac{1}{x}\right)' = 4\cdot\left(\frac{1}{x}\right)' = 4\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{4}{x^2}.

3. Производная разности двух функций

Пусть функции y=f\left(x\right) и y=g\left(x\right) дифференцируемы в точке x. Выведем правило дифференцирования разности f\left(x\right)-g\left(x\right).

Применим правила дифференцирования суммы функций и произведения функции на число:

\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]′ = \left[f\left(x\right)+\left(−1\right)\cdot g\left(x\right)\right]′ = f′\left(x\right)+\left[\left(-1\right)\cdot g\left(x\right)\right]′ = f′\left(x\right)-g′\left(x\right).

​[f (x) – g (x)]' = f '(x) – g'(x),
производная разности двух функций равна разности их производных.​

Пример 5.

Найдем производную y=x^2-x.

Получим \left(x^2-x\right)′=\left(x^2\right)′-x′=2x-1.

4. Производная функции y=x 

Сразу найдем частное

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{\left(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)}{\Delta x\cdot\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)} = \frac{x+\Delta x-x}{\Delta x\cdot\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}.

Если \Delta x\to0, то \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\to\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Следовательно,

(x)'=12x.

Пример 6.

Найдем уравнение касательной к графику функции y=x^{1,5} в точке с абсциссой x_0=4.

Представим функцию в виде y=x\cdot x^{0,5}, или y=x\cdot\sqrt{x}.

Найдем точку касания А: если x_0=4, то y_0=4\cdot\sqrt{4}=8. Точка касания A(4;\ 8).

Найдем производную функции:

\left(x\sqrt{x}\right)' = x'\sqrt{x}+x\left(\sqrt{x}\right)' = \sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} = 1,5\sqrt{x}.

Угловой коэффициент касательной k=y'\left(4\right)=1,5\cdot\sqrt{4}=3.

Так как касательная является прямой, для которой известна одна ее точка А и угловой коэффициент, то найдем уравнение касательной в виде y-y_0=f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right). Уравнением касательной будет y-8=3\cdot\left(x-4\right), или y=3x-4.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Ответ: (x3)' = 

Запишите еще раз производные x', (x2)' и (x3)'. Какую гипотезу можно высказать о формуле производной (xn)', где n ∈ Z+? Проверьте свое предположение в случае n = 4, пользуясь правилом дифференцирования произведения.

Ответ: (xn)' = 

y′ = 

y=7x
y' = 

y=-3x
y' = 

y=\frac{7}{x}
y' = 

y=3x+6
y' = 

y=2x+10
y' = 

y=-4x+8
y' = 

y=2\left(x+3\right)
y' = 

y=6\left(2x+1\right)
y' = 

y=3\left(x+\frac{1}{x}\right)
y' = 

y' = 

y=4-x^2
y' = 

y=8-x
y' = 

y=10x^2-9
y' = 

y=3x^2-2x+6
y' = 

y=4x^2-6x
y' = 

y=8x-7x^2
y' = 

f\left(x\right)=4x^2-8x+1
f ' (x) = 

Ответ: f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) = 

f\left(x\right)=\frac{1}{x}
f ' (x) = 

Ответ: f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) = 

f\left(x\right)=\frac{8x^3+4}{x}
f ' (x) = 

Ответ: f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) = 

s=t^2+2t.

Ответ: формула скорости: v = . Если t = 10, то расстояние от начала движения равно , а скорость равна .

s=0,5t^2-0,8t

Ответ: формула скорости: v = . Если t = 10, то расстояние от начала движения равно , а скорость равна .

s=80t

Ответ: формула скорости: v = . Если t = 10, то расстояние от начала движения равно , а скорость равна .

  1. x=3

    Ответ: k = , y = 
  2. x=1

    Ответ: k = , y = 
  1. x=0

    Ответ: k = , y = 
  2. x=-1,5

    Ответ: k = , y = 

y=\left(x+3\right)^2
y' = 

y=\left(4-2x\right)^2
y' = 

y=\left(x-1\right)^2
y' = 

y=x^2\sqrt{x}
y' = 

y=2\sqrt{x}-3x^2
y' = 

y=\left(\sqrt{x}+1\right)^2
y' = 

Seotud sisu
Muud tegevused