Производная логарифмической функции y = ln x

Курс „Последовательности. Производная функции”

Производную логарифмической функции мы рассмотрим лишь для случая, когда основанием логарифма является число е. Производная функции y=\ln x выражается в виде

(ln x)'=1x.

Пример 1.

Найдем производную функции y=x\cdot\ln x.

\left(x\cdot\ln x\right)^' = x'\ln x+x\left(\ln x\right)^' = 1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} = \ln x+1.

Пример 2.

Найдем производные функций: 1) y=\ln^2x; 2) y=\ln x^3.

  1. \left(\ln^2x\right)^' = \left(\ln x\cdot\ln x\right)^' = \frac{1}{x}\cdot\ln x+\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\ln x.
  2. Так как y=\ln x^3=3\ln x, то y'=3\left(\ln x\right)^'=3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}.
    ​

Пример 3.

Найдем уравнение касательной к графику функции y=\ln x в точке с абсциссой x=e, а также угол наклона этой касательной.

Для этого нужно знать координаты точки касания и угловой коэффициент касательной. Если х = е, то x=e, то y=\ln e=1. Следовательно, точкой касания является P(e;\ 1).

Угловой коэффициент касательной k=y'\left(e\right)=\frac{1}{e}=e^{-1}\approx0,368. Следовательно, уравнением касательной будет y-1=\frac{1}{e}\left(x-e\right), или y=\frac{1}{e}\cdot x.

Так как k=\tan\mathrm{\alpha}, то \tan\mathrm{\alpha}\approx0,3679, откуда \mathrm{\alpha}\approx20\degree12'.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

y=-3\ln x
y' = 

y=5\ln x
y' = 

y=\ln x^8
y' = 

y=\ln e^3x^2
y' = 

y=\ln8x
y' = 

y=\ln\sqrt{x}
y' = 

y=\ln\frac{1}{x}
y' = 

y=\ln x^{-5}
y' = 

y=\frac{\ln x-1}{\ln x}
y' = 

y=\frac{\ln x}{x}
y' = 

y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}
y' = 

y=x^3\ln x
y' = 

y=x^2-2\ln x
y' = 

y=x^{-1}+2\ln x
y' = 

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(e\right), если y=\frac{1}{\ln x}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f '(e) = 

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(e\right), если y=\frac{\ln x}{x^2}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f '(e) = 

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(e\right), если y=x^2-2\ln x.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) = 

f '(e) ≈ 

Ответ: k = , α = , y = 

Seotud sisu
Muud tegevused