Курс „Последовательности. Производная функции”
Соответствующая кривая является графиком функции
- Какой наклон имеет кривая соответственно в точках A, B, C, D и E?
- На каком метре, начиная от точки А, горка достигает наибольшей высоты? Чему равен угловой коэффициент касательной в высшей точке?
- Как Вы думаете, при каких значениях х кривая имеет самый крутой подъем, и при каких – самый крутой спуск? Найдите наклоны касательной в этих точках.
Чтобы ответить на вопросы в задаче 571, мы должны найти и сравнить угловые коэффициенты этих касательных. Проще всего это сделать на компьютере, проведя касательную к графику в произвольной точке и затем проследив, как изменяется положение касательной при движении от точки А вдоль графика.
 Рис. 3.20 | ||||||
- Опишите расположение касательной к графику (т. е. эта прямая является восходящей или нисходящей), если эта касательная проведена в точке, абсцисса которой:
- принадлежит интервалу возрастания функции;
- принадлежит интервалу убывания функции;
- является точкой экстремума функции.
- В какой четверти расположен угол между касательной и положительным направлением оси Ох и какой знак имеет тангенс этого угла, если касательная проведена в точке, абсцисса которой:
- принадлежит интервалу возрастания функции;
- принадлежит интервалу убывания функции;
- является точкой экстремума функции?
Более точные ответы на поставленные в заданиях 571 и 572 вопросы дает алгебраическое решение этих заданий.
 Рис. 3.21 | ||||||
Как мы убедились, расположение касательной к графику функции тесно связано с поведением функции и позволяет найти интервалы возрастания или убывания функции и точки экстремума. Сама касательная, как и всякая невертикальная прямая, определяется своим угловым коэффициентом k и начальной ординатой b (рис. 3.21). Приступим к изучению применения углового коэффициента касательной при исследовании функций.
 Рис. 3.22 | ||||||
Напомним, что если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, то угловой коэффициент (или наклон) k касательной, проведенной к графику функции в точке x0, выражается так (рис. 3.22):
k = tan α = f '(x0).
Пример 1.
Найдем угловой коэффициент касательной к параболе
Сначала найдем производную функции
Теперь вычислим значение производной в точке
Ответ: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке
Пример 2.
Найдем точки, в которых касательная, проведенная к графику функции
Так как
Имеем
получим, что
Ответ: касательные, проведенные к графику
Пример 3.
Найдем те значения переменной х, при которых касательная, проведенная к графику функции
В искомых точках х угловой коэффициент касательной, т. е.
Поскольку
Найдем нули квадратного трехчлена
График показывает, что y' отрицательно на интервале
 Рис. 3.23 | ||||||
Ответ: касательная, проведенная к графику функции
Упражнения
- отрицателен;
- равен нулю;
- положителен?
Каким является в каждом из этих случаев угол наклона прямой?
Соответствующая кривая является графиком функции
- Какой наклон имеет кривая соответственно в точках A, B, C, D и E?
Ответ: в точке A наклон равен , в точке B наклон равен , в точке C он равен , в точке D наклон составляет и в точке E наклон равен .
- На каком метре, начиная от точки А, горка достигает наибольшей высоты? Чему равен угловой коэффициент касательной в высшей точке?
Ответ: на рассматриваемом отрезке горка достигает наибольшей высоты на расстоянии м от точки A. В этой точке угловой коэффициент касательной к графику равен . - Как Вы думаете, при каких значениях х кривая имеет самый крутой подъем, и при каких – самый крутой спуск? Найдите наклоны касательной в этих точках.
