Уравнение касательной к графику функции

Курс „Последовательности. Производная функции”
Рис. 3.24

Чтобы решить эту задачу, достаточно найти точку, в которой касательная к линии y=-0,25\left(x^2-25\right) пересекает ось абсцисс. Но для этого мы должны знать уравнение касательной к графику функции.

Касательная, проведенная к графику функции y=f\left(x\right) через точку \left(x_0;\ y_0\right) этого графика, является прямой, уравнение которой имеет вид y = kx + b. Для этого уравнения мы умеем находить угловой коэффициент [понятие: Угловой коэффициент касательной к графику функции (funktsiooni graafiku puutuja tõus) – yгловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной через точку с абсциссой 𝑥₀, равен значению производной данной функции в точке 𝑥₀.](или наклон) k:

k = f ' (x0).

Чтобы найти начальную ординату b, заметим, что точка \left(x_0;\ y_0\right) расположена на касательной, и потому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной y = kx + b. Таким образом,

y_0=f'\left(x_0\right)\cdot x_0+b,

откуда b=y_0-f'\left(x_0\right)\cdot x_0.

Подставив найденные значения k и b в уравнение y=kx+b, мы получим уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f\left(x\right) через точку \left(x_0;\ y_0\right) этого графика или короче – в точке х0:

y=f'\left(x_0\right)\cdot x+y_0-f'\left(x_0\right)\cdot x_0, или

y = f ' (x0) · (x – x0) + y0.

Поскольку y0 = f(x0), то полученное уравнение можно записать и в виде

y = f ' (x0) · (x – x0) + f (x0).

Пример 1.

Найдем уравнение касательной, проведенной к параболе y=x^2+3x-1 в точке x_0=1.

Найдем сначала ординату у0 точки касания:

y_0=1^2+3\cdot1-1=3.

Теперь найдем угловой коэффициент касательной, проведенной через точку (1; 3). Так как y'=2x+3, то

k=f'\left(x_0\right) = y'\left(x_0\right) = 2\cdot1+3 = 5.

Подставим найденные значения в уравнение касательной и после упрощения получим:

y=5x-2.

Ответ: искомая касательная задана уравнением y=5x-2.

Пример 2.

К параболе y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 проведена касательная, параллельная прямой x-2y+2=0. Найдем уравнение этой касательной.

Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту данной прямой. Приведем уравнение прямой к виду y = kx + b и получим:

y=\frac{1}{2}x+1.

Значит, угловой коэффициент касательной k=\frac{1}{2}.

Теперь найдем точку, в которой угловой коэффициент касательной равен \frac{1}{2}. Для этого нужно решить уравнение f'\left(x\right)=\frac{1}{2}. Имеем y' = x + 3 и получим уравнение x+3=\frac{1}{2}, откуда x_0=-2\frac{1}{2}.

Значение функции y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 в этой точке есть y_0=-5\frac{3}{8}.

Подставим найденные числа в уравнение касательной и получим:

y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Ответ: искомая касательная задана уравнением y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Проверим полученный ответ, построив на компьютере графики функций y=\frac{1}{2}x^2+3x-1, y=\frac{1}{2}x+1 и y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8} (рис. 3.25).

Рис. 3.25
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

A\left(2;\ -3\right), \mathrm{\alpha}=45\degree

Ответ: y = 

A\left(0;\ 2\right), \mathrm{\alpha}=120\degree

Ответ: y = 

A\left(0;\ 0\right), \mathrm{\alpha}=90\degree

Ответ: x = 

A\left(-1;\ 3\right), k=\sqrt{3}

Ответ: y = , эта прямая .

A\left(0;\ -5\right), k=-1

Ответ: y = , эта прямая .

A\left(0;\ 0\right), k=0

Ответ: y = , эта прямая .

y=x^2+1, если x_1=2 и x_2=-1

Ответ: если x_1=2, то y =  и если x_2=-1, то y = .

y=-3x^2+2x-1, если x_1=-2 и x_2=3

Ответ: если x_1=-2, то y =  и если x_2=3, то y = .

y=xe^x, если x_1=0 и x_2=1

Ответ: если x_1=0, то y =  и если x_2=1, то y = .

y=\frac{x-1}{x+1}, если x_1=2 и x_2=-3

Ответ: если x_1=2, то y =  и если x_2=-3, то y = .

y=-\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}\cdot x, если \mathrm{\alpha}=60\degree

Ответ: y = 

y=2\ln x, если \mathrm{\alpha}=45\degree

Ответ: y = 

y=-e^x+3, если \mathrm{\alpha}=135\degree

Ответ: y = 

y=xe^x, если \mathrm{\alpha}=0\degree

Ответ: y = 

y=-x^2+3x, если k=9

Ответ: y = 

y=x\ln x, если k=2

Ответ: y = 

y=x-e^x, если k=0

Ответ: y = 

y=\left(2x-1\right)^2+2, если k=0

Ответ: y = 

Рис. 3.24

Ответ: второй конец троса нужно укрепить на расстоянии   м от основания крыши ангара.

Ответ: y = 

Найдите уравнение касательной к линии y=\frac{x-6}{x-2} в точке пересечения этой линии с осью ординат. Проверьте полученный результат с помощью графика, выполненного на компьютере.

Ответ: y = 

Ответ: y = 

Seotud sisu
Muud tegevused