Задачи на нахождение экстремума

Пример 1.

На стену здания фирмы решили повестить обрамленный неоновыми трубками светильников рекламный щит (рис. 3.37). При этом купили неоновых трубок общей длиной 4 м. Каковы должны быть размеры щита, чтобы его площадь была наибольшей?

Joon. 3.37

Составим формулу функции, экстремум которой нужно найти. Пусть ширина рекламного щита равна х (м). Тогда его высота равна 4 – 2x метров, а площадь

S\left(x\right)=x\left(4-2x\right)=4x-2x^2 (м²).

Теперь найдем тот промежуток изменения аргумента х, в котором нужно найти точки экстремума этой функции.

Из условий задачи следует, что x>0 и ​4-2x>0. Значит, x\in\left(0;\ 2\right), причем значения x = 0 и х = 2 не учитываются, так как при них задача теряет практический смысл.

Чтобы найти точки экстремума, найдем первую и вторую производные функции и решим уравнение S\ '\left(x\right)=0. Имеем:

S\ '\left(x\right)=4-4x и S\ ''\left(x\right)=-4.

Из уравнения 4-4x=0 следует, что экстремум может быть только в точке x=1, которая принадлежит рассматриваемому интервалу. Так как S\ ''\left(1\right)=-4<0, то в точке х = 1 функция имеет максимум.

Вычислим вторую сторону прямоугольника: 4 – 2 ⋅ 1 = 2 (м).

Ответ: ширина рекламного щита должна быть 1 м, а высота – 2 м.

Пример 2.

Скупщик грибов запланировал продать за день 20 кг лисичек по цене 12 евро за килограмм. При этом его чистая прибыль составляла бы по 2 евро за каждый проданный килограмм. Позднее он решил, что каждое понижение цены одного килограмма на 10 центов должно увеличивать объем дневной продажи на 2 кг. По какой цене нужно продавать лисички, чтобы полученная прибыль была наибольшей? Предполагается, что все прогнозы, сделанные продавцом, верны.

Составим формулу функции, для которой отыскивается наибольшее значение. Понижение цены кратно 10 центам, т. е. оно составляет 10х центов, или 0,1х евро. Нужно найти соотношение между прибылью Т(х), которую получит продавец, и коэффициентом х понижения цены лисичек. После понижения цены продавец с каждого проданного килограмма получит доход в 2 – 0,1х евро. Объем дневной продажи грибов увеличится при этом на 2х кг, так что всего будет продано 20 + 2х кг.

При такой продаже доход Т(х) вычисляется по формуле

T\left(x\right)=\left(2-0,1x\right)\left(20+2x\right).

Из условия задачи x\ge0 и 2-0,1x\ge0, значит наша функция определена при x\in\left[0;\ 20\right] и требуется найти ее наибольшее значение на этом отрезке.

Найдем точки, в которых функция может иметь экстремумы в интервале (0; 20), и исследуем их с помощью второй производной:

T\left(x\right)=40+2x-0,2x^2, T\ '\left(x\right)=2-0,4x и T\ ''\left(x\right)=-0,4.

Из уравнения 2-0,4x=0 получим, что единственной такой точкой является x = 5.

Поскольку T\ ''\left(5\right)=-0,4<0, то в этой точке функция имеет максимум.

Однако экстремумы могут быть и в концах отрезкаu \left[0;\ 20\right].

Вычислим значения функции в точке х = 5 и на концах отрезка \left[0;\ 20\right]:

T\left(5\right)=45; T\left(0\right)=40 ja T\left(20\right)=0.

Поэтому лисички следует продавать по цене 12 – 5 ⋅ 0,1 = 11,5 (€) за килограмм.

Ответ: лисички следует продавать по цене 11,5 евро за килограмм.

Пример 3.

Бокал имеет форму конуса, образующая которого равна 12 см (рис. 3.38). При какой высоте конуса объем бокала будет наибольшим?

Рис. 3.38

Сначала найдем функцию, для которой требуется найти наибольшее значение. Для этого выразим объем V конуса через его высоту x:

V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi r^2x.

Полученная формула содержит еще одну переменную r (радиус основания), для исключения которой мы воспользуемся соотношением r^2+x^2=12^2. Так как r^2=144-x^2, то получим, что 

V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi\left(144-x^2\right)\cdot x, откуда V\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}x-\frac{\pi}{3}x^3.

Из условия задачи следует, что x\in\left(0;\ 12\right), а точки х = 0 и х = 12 не подходят по смыслу (объясните, почему).

Чтобы найти точки экстремума, вычислим первую и вторую производные и решим уравнение V\ ′\left(x\right)=0. Имеем

V\ '\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}-\pi x^2 и V\ ''\left(x\right)=-2\pi x.

Из уравнения \frac{144\pi}{3}-\pi x^2=0 получим, что единственной точкой экстремума функции в рассматриваемом интервале (0; 12) может быть x=4\sqrt{3}.

Так как V\ ''\left(4\sqrt{3}\right)=-8\pi\sqrt{3}<0, то в данной точке функция имеет максимум.

Ответ: высоту конуса нужно взять равной 4\sqrt{3}\approx6,9\ \left(\mathrm{см}\right).