Harjutusülesanded. Jadad

a₁ = 6, a₈ = 230

Kasutame jada üldliikme valemit, et leida esmalt jada vahe d ja seejärel jada kolmas liige.

a_n = a₁ + (n – 1)d

230 = 6 + (8 – 1)d
230 = 6 + 7d
7d = 224
d = 32

a₃ = 6 + (3 – 1) · 32 = 70​​​ ​

a₁ = 1, d = 1, S_n ≤ 1500

1. Leiame jada liikmete arvu aritmeetilise jada summa valemist.
   ​\frac{2\cdot1+\left(n-1\right)\cdot1}{2}\cdot n=1500
   (2 + n – 1) · n = 3000
   n(n + 1) = 3000
   n² + n – 3000 = 0​​​
   n=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\ ·\ 1\ ·\ \left(-3000\right)}}{2\ ·\ 1}=
   =\frac{-1\pm\sqrt{12\ 001}}{2}
   n₁ ≈ – 55
   n₂ ​≈ 54
2. ​​​n ei saa olla negatiivne, seega
   a₅₄ = 1 + (54 – 1) · 1 = 54​
3. Kokku kulub telliseid
   ​S_{54}=\frac{\left(2\ ·\ 1+54-1\right)\ ·\ 1}{2}\cdot54=1485
   Üle jääb 1500 – 1485 = 15 tellist​.

1. Kasutades geomeetrilise jada üldliikme valemit a_n = a₁ · q^n–1 koostame võrrandisüsteemi tundmatute a₁ ja q suhtes,
   ​$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{a}_2=a_1·q^{2-1}\\ a_4=a_1·q^{4-1}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{rcl}12& =& a_1·q \Rightarrow a_1=\frac{12}{q}\\ 192& =& a_1·q^3\end{array}\right. \\ 192=\frac{12·\cancel{q^3}{ }^{q^2}}{\cancel{q}{ }_1} \end{gathered}$$
   ​12q^2=192
   q^2=16
   q_1=-4\mathrm{,}\ \ \ q_2=4
   a_{1_1}=\frac{12}{-4}=-3
   a_{1_2}=\frac{12}{4}=3
2. ​​​​Leiame geomeetrilise jada üldliikme valemi abil kuuenda liikme.
   a_{6_1}=-3\ ·\ \left(-4\right)^5=3072
   a_{6_2}=3\ ·\ 4^5=3072​​
   

Pange tähele, et näiteks viies liige on 768 või −768. Seega tuleb ka edaspidi sarnastel ülesannetel leida otsitav liige mõlemate q ja a₁ väärtuste korral!

Kuna igal järgmisel nädalal müüdi droone 40% rohkem kui eelneval, siis on ülesandes tegu geomeetrilise jadaga, kus q = 1,4 ja a₁ = 500.

1. Kuna küsitud on mitme nädalaga müüdi läbi kogu partii, siis peab geomeetrilise jada summa olema suurem või võrdne partiis olevate toodete arvuga.
   \frac{500\left(1,4^n-1\right)}{1,4-1}\ge60\ 000
   \frac{500\ \cdot\ 1,4^n-500}{0,4}\ge60\ 000
   500 · 1,4ⁿ – 500 ≥ 24 000
   500 · 1,4ⁿ ≥ 24 500
   ​1,4ⁿ ≥ 49​​
2. Logaritmime võrratuse mõlemat poolt.
   ​log (1,4ⁿ) ≥ log 49
   n · log 1,4 ​≥ log 49
   n\ge\frac{\log49}{\log1,4}\approx11,6

Esimene täisarv, mis on suurem kui n on 12, seega kogu partii müüdi läbi 12 nädalaga.