Harjutus­ülesanded. Avaldised

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

A=\left(\frac{\sqrt{x}}{x-9}-\frac{\sqrt{x}+3}{x-6\sqrt{x}+9}\right):\left(\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right)^2++\frac{12+\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+3}.

Tehete järjekord:

  • Murru astendamine
  • Vahe jagamine murruga
  • Sulgudes olev lahutamine
  • Murru liitmine jagatisele

Vahetehete vastused tegurdatud kujul

Vastus

Lahendus
  1. Sulgudes olev lahutamine 
    \frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}=​
    =\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}
    ​​Lugeja lihtsustamine: 
    ​\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}=
    =\frac{x-3\sqrt{x}-\left(x+6\sqrt{x}+9\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}=​
    ​=\frac{x-3\sqrt{x}-x-6\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}=
    ​=\frac{-9\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}
  1. Murru astendamine 
    \left(\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right)^2=\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}​
  2. Vahe jagamine murruga 
    \frac{-9\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}:\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}=
    = - 9 x + 1 x - 3 2 x - 3 2 · x + 3 x + 1 2 = ​
    = - 9 x + 3 x + 1
  3. Murru liitmine 
    \frac{-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{12+\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+3}
    ​Teise murru nimetaja tegurdub ruutkolmliikme valemi järgi:
    ​x+4\sqrt{x}+3=\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)
    ​Seega on tegemist ühenimeliste murdude liitmisega.
    \frac{-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{12+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=​​
    ​= 3 + x x + 3 x + 1 = \frac{1}{\sqrt{x}+1}
  4. Kui kaotada irratsionaalsus murru nimetajas, siis saab avaldis kuju 
    \frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

  • x = 
Vastus


Lahendus

x=7^{2\log_7\left(5\right)}=7^{\log_7\left(25\right)}=25

A=\frac{\sqrt{25}-1}{25-1}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}võiA=\frac{1}{\sqrt{25}+1}=\frac{1}{6}

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3

Mari pani oma vana sülearvuti interneti­poodi müügile ja tahtis selle eest saada 200 eurot. Kuna seadet ei soovinud selle raha eest keegi osta, alandas ta hinda 20% võrra. Ka siis ei leidunud arvutile ostjat. Mari alandas hinda veel teatud summa võrra ja nii õnnestus tal lõpuks läptop maha müüa 104 euro eest. Mitme protsendi võrra alandas Mari hinda teisel korral?

Vastus

Teisel korral alandas Mari hinda % võrra.

Lahendus
  1. Kõigepealt leia 20% 200st ja lahuta tulemus hinnast.
    ​Võid arvutada ka nii: kuna 20%-line hinnalangus tähendab, et uus hind on 80% alghinnast, siis leia 80% 200st.
  2. Hind peale esimest allahindlust on 0,8 ⋅ 200 = 160 eurot.
  3. Tuleb leida, mitme protsendi võrra on lõpphind 160st eurost väiksem.
    ​Hindade vahe on 160 – 104 = 56 eurot.
    ​Mitu protsenti on 56 eurot 160 eurost?
    ​\frac{56\cdot100\%}{160}=35\%
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 4

Mari sai võrreldes kunagise ostu­hinnaga vana arvuti eest, mille ta müüs 104 euroga, 87% kahju. Mis oli kunagi selle arvuti ostuhind?

Vastus

Kunagi maksis Mari oma arvuti eest  eurot.

Lahendus

Kuna müügihind oli ostuhinnast 87% madalam, moodustas 104 eurot ostuhinnast 100% – 87% = 13%.

Terviku ehk 100%, on \frac{104\ ·\ 100\%}{13\%}=800

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 5

Lahendus
  1. Vii lugejas ruutjuure all esimene tegur kuupjuure alla. Nimetaja lihtsusta ruutude vahe valemi abil.
    ​\frac{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt{\sqrt[3]{3^3\cdot3}}}{\sqrt{9}-1}
  2. Kirjuta lugejas olevad tegurid murrulise astendajaga ja arvuta nimetaja.
    ​\frac{3^{\frac{1}{3}}\cdot\sqrt[6]{3^4}}{\sqrt{9}-1}=\frac{3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{4}{6}}}{2}
  3. Ühe ja sama alusega astmete korrutamisel astendajad liidetakse.
    ​\frac{1}{3}+\frac{4}{6}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}
  4. Arvuta.
    ​\frac{3^{\frac{3}{3}}}{2}=\frac{3}{2}=1,5
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksami ülesandeid

  1. Lihtsustage avaldis \frac{3\sqrt{x}-x}{12x}:\frac{9-x}{\left(3+\sqrt{x}\right)^2-\left(3-\sqrt{x}\right)^2}.
    • \frac{3\sqrt{x}-x}{12x}=
    • \frac{9-x}{\left(3+\sqrt{x}\right)^2-\left(3-\sqrt{x}\right)^2}=
  2. Kas selle avaldise väärtus saab olla 1? Põhjendage vastust.
Vastus
  1. Lihtsustatud avaldis on .
  2. Avaldise väärtusolla 1, sest .

Lihtsustage avaldis \left(\frac{y-x}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+2\sqrt{x}\right)^{-1}:\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).

  • \frac{y-x}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+2\sqrt{x}=
Vastus

Avaldis lihtsustub kujule .

On antud murrud A=\frac{a-4}{a+\sqrt{a}} ja B=\frac{a\sqrt{a}+a}{a+2\sqrt{a}}.

  1. Koostage avaldis A ⋅ B ja lihtsustage see.
    • \frac{a-4}{a+\sqrt{a}}=
    • \frac{a\sqrt{a}+a}{a+2\sqrt{a}}=
  2. Leidke arvu a väärtus, mille korral korrutis A ⋅ B = 1.
Vastused
  2. a = 
  1. Lihtsustage avaldis \frac{a-\sqrt{4a}}{a}:\left(\frac{a+4}{\sqrt{a}}-4\right), kus a > 0.
    • \frac{a-\sqrt{4a}}{a}=
    • \left(\frac{a+4}{\sqrt{a}}-4\right)=
  2. Kas leidub arvu a selline väärtus, mille korral on antud avaldise väärtus 0? Põhjendage oma vastust.
Vastus
  1. Avaldis lihtsustub kujule .
  2. Selline a väärtussest  (kasutage märke = või ≠).

Lihtsustage avaldis \frac{2^{2x+1}\cdot4^{x-0,5}}{\sqrt{16^{2x}}\cdot2^{-3}}.

Vastus

Avaldise väärtus pärast lihtsustamist on .

  1. Lihtsustage avaldis \frac{a-9}{a\sqrt{a}+3a}\cdot\left(\frac{2}{a}\right)^{-1}, kus a > 0.
  2. Leidke a väärtus, mille korral on avaldise väärtus 6,5.
Vastused
  1. Avaldis pärast lihtsustamist on .
  2. a = 
  1. Lihtsustage avaldis \frac{3x+2}{\left(6x+4\right)^2}\cdot\left(4-9x^2\right).
    • \frac{3x+2}{\left(6x+4\right)^2}=
    • 4-9x^2=
  2. Arvutage avaldise väärtus, kui x=27^{-\frac{1}{3}}.
Vastused
  1. Avaldis saab pärast lihtsutamist kuju .
  2. Kui , siis on avaldise väärtus .

Lihtsustage avaldis \left(\frac{y}{3x}\right)^5\cdot\left(\frac{6x}{y}\right)^5-x^3:\ x^{\frac{5}{2}}+\left(x^4\right)^{\frac{1}{8}},kus x > 0 ja y ≠ 0.

Vastus

Avaldise väärtus on pärast lihtsustamist .

  1. Lihtsustage avaldis \frac{\sqrt{m}}{m+\sqrt{m}}+\frac{2}{m-1}.
    • \frac{\sqrt{m}}{m+\sqrt{m}}=
    • \frac{2}{m-1}=
  2. Arvutage kirjalikult selle täpne väärtus, kui m=\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}.
Vastus
  1. Avaldis lihtsustub kujule .
  2. Avaldise väärtus on .
Seotud sisu
Muud tegevused