Konspekt. Integraal

Seotud sisu
Muud tegevused

Määramata integraal

Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse sellist algfunktsiooni F (x) ja integreerimis­konstandi C summat, mille tuletis võrdub funktsiooniga f (x).

Integreerimiskonstant C

Funktsioonist kaovad tuletise võtmisel temas sisalduvad lineaarselt liidetud konstandid. Seetõttu tekib pöörd­operatsioonil – integreerimisel – avaldisse integreerimis­konstant C.

Astmefunktsioon xn, n ≠ –1

\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

Astmefunktsioon x–1

\ x^{-1}=\frac{1}{x}

\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln\left|x\right|+C

Konstant a

\int a\mathrm{\ d}x=ax+C

Eksponentfunktsioon ex

\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C

  • n astendaja
  • x integreerimis­muutuja
  • C integreerimis­konstant
  • a konstant
Seotud sisu
Muud tegevused

Omadused

Konstandi väljatoomine integraali seest

∫ k f x   d x = k ∫ f x   d x

Funktsioonide summa või vahe integraal

∫ f x ± g x   d x = ∫ f x   d x ± ∫ g x   d x

Astmefunktsioonid

\left(ax\right)'=a

∫ a   d x = a x + C

\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C,
kus n ≠​ -1

Eksponent- ja logaritmfunktsioonid

\left(e^x\right)'=e^x

∫ e x   d x = e x + C

\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)'=a^x

∫ a x   d x = a x ln a + C

\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}

∫ 1 x   d x = ln x + C

Trigonomeetrilised funktsioonid

\left(-\cos x\right)'=\sin x

∫ sin x d x = - cos x + C

\left(\sin x\right)'=\cos x

∫ cos x d x = sin x + C

Seotud sisu
Muud tegevused

Kõvertrapets

Kõvertrapetsiks nimetatakse tasandilist kujundit, mis on piiratud x-telje lõiguga [a; b], funktsiooni f (x) graafikuga sellel lõigul ning x-teljega ristuvate lõikudega, mis jäävad funktsiooni graafiku ja x-telje vahele.

Need lõigud on trapetsi alusteks ning lõik [a; b] ja funktsiooni graafiku osa on haaradeks.

Määratud integraali geomeetriliseks tõlgenduseks on kõvertrapetsi pindala:

S=\left|\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x\right|

Iga kinnise kõveraga piiratud kujundi saab jaotada kõvertrapetsiteks.

Newton-Leibnizi valem

\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)

  • a alumine raja
  • b ülemine raja
  • f (x) integreeritav funktsioon
  • F (b) alg­funktsiooni väärtus kohal b
  • F (a) alg­funktsiooni väärtus kohal a

Valemiga saab leida ka kõvertrapetsi pindala. Määratud integraali leidmise vahesammu võib kirjutada ka kui \left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right), kus F (x) on integreeritava funktsiooni algfunktsioon.

Kui leiame integraali \int_1^23x^2\mathrm{d}x, siis on integreeritav funktsioon f (x) = 3x2. Selle funktsiooni algfunktsioon on F (x) = x3 + C.

Integraali väärtus Newton-Leibnizi valemi järgi on\int_1^23x^2\mathrm{d}x=\left[2^3+C\right]-\left[1^3+C\right]=7.​

Integraali tükeldamise valem

\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x=

=\int_a^cf\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_c^bf\left(x\right)\mathrm{d}x

  • a alumine raja
  • b ülemine raja
  • c uus raja
Seotud sisu
Muud tegevused

Pindala

Kahe joone vahelise pinnatüki pindala

S=\int_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{d}x

  • a kujundit vasakult piirav joon või lõikepunkti x-koordinaat
  • b kujundit paremalt piirav joon või lõikepunkti x-koordinaat
  • f (x) kujundit ülalt piirava funktsiooni graafik
  • g (x) kujundit alt piirava funktsiooni graafik
Seotud sisu
Muud tegevused

Pöördkeha ruumala

V=\pi\int_a^b\left[f\left(x\right)\right]^2\mathrm{d}x

  • a integraali alumine raja
  • b integraali ülemine raja
  • f (x) pöördkeha kuju x-telje suhtes kirjeldav funktsioon
  • V pöördkeha ruumala
Seotud sisu
Muud tegevused