Ülesanne 1
Koonust kõrgusega 12 cm ja raadiusega 9 cm on lõigatud tasandiga, mis läbib koonuse tippu ja lõikab põhja ringist 60°-se kaare. Arvuta lõike täpne pindala.
Vaata kõigepealt animatsiooni, et näha, milline on lõiketasand ja kus see asetseb.
- lõike alus cm
- lõike kõrgus
cm
Vihje
Tee koonuse põhjast joonis ja leia raadiuste vahele jääva võrdhaarse kolmnurga kõrgus.
Kesknurk on võrdne kaarega, millele see toetub.
Selle ja koonuse kõrguse abil saad leida lõike kõrguse.
Kesknurk on võrdne kaarega, millele see toetub.
Selle ja koonuse kõrguse abil saad leida lõike kõrguse.
Vastus
Lõike pindala on
Abijoonised
Koonuse põhi
Koonuse lõiked
Lahendus
- Uurime koonuse põhja joonist. Raadiuste vahele tekib võrdhaarne kolmnurk, mille kõrgus OC poolitab aluse AB. Kuna kesknurk on võrdne kaarega, millele ta toetub, siis on ∠AOB = 60°, ∠AOC = 30° ning lõigu OC saab leida siinuse või koosinuse abil.
\sin60\degree=\cos30\degree=\frac{h}{9} h=9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{\left(cm\right)} - Lõike kõrguse saame täisnurksest kolmnurgast kõrgusega 12 cm ja alusega
\frac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm.} H=\sqrt{12^2+\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2}\mathrm{=} =\frac{3\sqrt{91}}{2}\ \mathrm{\left(cm\right)} - Lõike alus on võrdne raadiusega, sest koonuse põhjal paiknev kolmnurk on võrdkülgne.
AB = 9 cm - Lõike pindala
S=\frac{9\cdot3\sqrt{91}}{2\cdot2}=\frac{27\sqrt{91}}{4}\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
Ülesanne 2
Koonust raadiusega 10 cm on lõigatud tasandiga, mis läbib koonuse tippu ja lõikab põhja ringist kaare suurusega 120° ning moodustab põhjaga nurga 45°. Arvuta lõike täpne pindala.
- lõike kõrgus
cm - lõike alus
cm
Vastus
Lahendus
- Koonuse põhjal moodustuva võrdhaarse kolmnurga tipunurk on 120°, selle kolmnurga kõrguse arvutame täisnurksest kolmnurgast hüpotenuusiga 10 cm.
\cos60\degree=\frac{h}{10}
h = 10 · cos 60° = 5 (cm) - Lõige moodustab põhjaga nurga 45°, järelikult on koonuse kõrgus samuti 5 cm.
- Koonus kõrguse ja põhja kolmnurga kõrguse abil saame lõike kõrguse.
H=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\mathrm{\ \left(cm\right)} - Lõike alus
a=2\ ·\ \sqrt{10^2-5^2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)} - Lõike pindala
S=\frac{5\sqrt{2}\cdot10\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{6}\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
