Harjutus­ülesanded. Kombineeritud kehad

  • Silinder
  • Koonus
  • Kera
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

Silindrisse on paigutatud koonus, mille kõrgus ja raadius on samad, mis silindril. Koonuse sisse on asetatud kera, mis puudutab koonuse põhja ja külgpinda. On teada, et kera ruumala on \frac{32\pi}{3} cm3 ja silindri raadius 6 cm. Leia silindri ruumala ja koonuse külgpindala.

Vihje
Joonesta vaade, kus on näha kehade olulised mõõtmed.
Silindrit saab kujutada ristkülikuna, mille külgedeks kõrgus ja põhja diameeter.
Koonust näeb võrdhaarse kolmnurgana, mille tipp on ristküliku ühe külje keskpunktis.
Kera on selle kolmnurga siseringjoon.
Otsi jooniselt sarnaseid kolmnurki.
  • kera raadius r =  cm
Vihje
Avalda kera raadius ruumalast.
  • x =  cm
  • m =  cm
Vihje
Nurk-nurk tunnuse järgi on sarnased kolmnurgad külgedega
r, y, x ja R, r + x, m.
Kolmnurga siseringjoone keskpunkt asub nurgapoolitajate lõikepunktis. Avalda moodustaja.
Sarnaste kolmnurkade vastavad küljed on võrdelised.
Koosta ja lahenda võrrandisüsteem.
Vastused

Silindri ruumala on  π cm3.
Koonuse külgpindala on π cm2. 

Abijoonis
Lahendus 1
  1. Avaldame ruumala valemist kera raadiuse.
    ​V=\frac{4\mathrm{\pi}r^3}{3}=\frac{32\mathrm{\pi}}{3}\ \mathrm{\left(cm^3\right)}
    ​r3 = 8, r = 2 (cm)
  2. Kuna koonuse moodustajad m on kera kujutavale ringile puutujateks, on kera raadiuse r ja moodustaja m vahel täisnurk. Nurk-nurk tunnuse järgi on sarnased kolmnurgad külgedega
    r, y, x ja R, r + x, m.​
    Kuna kolmnurga siseringjoone keskpunkt asub nurga­poolitajate lõikepunktis, on moodustaja
    ​m = y + R ja y = m − R.​
    Et sarnaste kolmnurkade vastavad küljed on võrdelised, kehtib ahelvõrdus
    ​\frac{r}{R}=\frac{y}{r+x}=\frac{x}{m}.
  3. ​Asendame ahelvõrduses raadiused nende arvuliste väärtustega ja y = m − R, y = m − 6.
    ​ 2 6 = m - 6 2 + x 2 6 = x m
  4. Kasutame võrde põhiomadust ja lahendame süsteem asendusvõttega.
    2 2 + x = 6 m - 6 2 m = 6 x
    ​​ 2 + x = 3 m - 18 m = 3 x
    2 + x = 3m – 18
    –8x = –20
    x = 2,5 (cm)​
    m = 7,5 (cm)
  5. ​​​Silindri ruumala
    V = ​πR2H
    V = π​ · 62 · (2 + 2,5) = 162π (cm3)
  6.  Koonuse külgpindala
    Sk = ​πRm
    Sk = π · 6 · 7,5 = ​45π (cm2)
    ​
Lahendus 2
Milleks minna otse, kui saab ka ringiga?

Vaatame veel ühte lahendukäiku, mis tegelikult osutub eelmisest isegi lihtsamaks. Selleks vaatame uuesti joonisel olevat koonuse telglõiget - võrdhaarset kolmnurka. 

Selle kolmnurga alusnurga poolitaja n on hüpotenuusiks kolmnurgale, mille kaatetiteks on R ja r.

  1. Kui alusnurk on 2α, siis poole alusnurga α tangens on\tan\mathrm{\alpha}=\frac{r}{R}, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. (Vaadake kaateti r leidmiseks eelmist lahenduskäiku.)
  2. Nurga 2α tangens on
    \tan2\mathrm{\alpha}=\frac{H}{R}=\frac{H}{6}.
  3. Kuna kahekordse nurga tangensi saab avaldada ühekordse nurga tangensi kaudu, siis
    ​\tan2\mathrm{\alpha}=\frac{2\tan\mathrm{\alpha}}{1-\tan^2\mathrm{\alpha}}.
  4. Tehes viimasesse seosesse asendused kahest esimesest võrdusest, saame võrrandi
    \frac{H}{6}=\frac{2\cdot\frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}.
  5. Lahendame võrrandi.
    \frac{8}{9}H=4,\ H\ =\ 4,5\ \mathrm{\left(cm\right)}
  6. Leiame Pythagorase teoreemi järgi koonuse moodustaja.
    ​m=\sqrt{6^2+4,5^2}=7,5\ \mathrm{\left(cm\right)}
  7. Lõppvastused leiame nagu eelmises lahenduskäigus.

Mõtle ka edaspidi sellele, et vahel on lahenduse lihtsustamiseks mõistlik appi võtta nurga­funktsioonid, kuigi nurka ennast pole antud.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Koonusesse, mille raadius on 5 cm, on paigutatud maksimaalse suurusega kera, mille pindala on 36π cm2. Leia selle koonuse täispindala ja ruumala.

Kasuta eelmise ülesande joonist. 

  • kera raadius  cm
  •  cm
  •  cm
Vihje
Võid kasutada nurgafunktsioone, nagu eelmise ülesande teises lahenduses.

Vastused

Koonuse ruumala on π cm3 ja täispindala on π cm2.

Lahendus
  1. Leiame kera raadiuse.
    4πR2 = 36π
    R2 = 9, R = ​​3 (cm)
  2. Kasutades nurgafunktsioone, saame
    ​\tan\mathrm{\alpha}=\frac{3}{5},\ \tan2\mathrm{\alpha}=\frac{3+x}{5}.
    \frac{3+x}{5}=\frac{2\cdot\frac{3}{5}}{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}
    \frac{16}{25}\left(3+x\right)=6
    ​​3+x=\frac{75}{8}
    ​x=\frac{51}{8}=6,375\ \mathrm{\left(cm\right)}
  3. Arvutame koonuse moodustaja.
    m=\sqrt{5^2+\left(3+\frac{51}{8}\right)^2}=
    =\frac{85}{8}=10,625\ \mathrm{\left(cm\right)}
  4. Arvutame koonuse ruumala.
    ​V=\frac{5^2\mathrm{\pi}\frac{75}{8}}{3}=\frac{625\mathrm{\pi}}{8}=78,125\mathrm{\pi\ \mathrm{\left(cm^3\right)}}
  5. ​​Leiame koonuse täispindala.
    ​S=5^2\mathrm{\pi}+5\mathrm{\pi}\frac{85}{8}=\frac{625\mathrm{\pi}}{8}=
    ​=78,125\mathrm{\pi}\mathrm{\ \left(cm^2\right)}
Seotud sisu
Muud tegevused