Alg­funktsioon

Teame, et liitmise pöörd­tehe ehk pöörd­operatsioon on lahutamine, korrutamise pöörd­operatsioon on jagamine, astendamise pöörd­operatsioonid on juurimine ja logaritmimine. Eelmises peatükis kordasime ühte operatsiooni, mida saab rakendada funktsioonidele – tuletise leidmist ehk diferentseerimist. Kas ka selle operatsiooni puhul on olemas pöörd­operatsioon? Kas saab leida funktsiooni f (x), kui on teada selle funktsiooni tuletis (joon. 1.1)?

Joon. 1.1
Ülesanne 9. Funktsiooni leidmine

Funktsiooni tuletis

Funktsioon

y'=2

y'=2x+3

y'=3x^2

Funktsiooni tuletis

Funktsioon

y'=x

y'=4x

y'=e^x

Kas on vaid üks võimalus? 

Tuletise leidmise pöörd­operatsiooniks on sellise funktsiooni leidmine, mille tuletiseks on antud funktsioon. Sellist funktsiooni nimetatakse antud funktsiooni alg­funktsiooniks.

Olgu funktsioon f (x) määratud piir­konnas X. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f alg­funktsiooniks, kui F '(x) = f (x) iga x korral piir­konnast X.

Definitsioonist järeldub, et alg­funktsioon on oma määramis­piirkonnas diferentseeruv ja seega ka pidev. Igal diferentseeruval funktsioonil on vaid üks tuletis, aga igal pideval funktsioonil on lõpmata palju alg­funktsioone.

Näiteks

\left(x^3\right)^'=3x^2, \left(x^3-1\right)^'=3x^2, \left(x^3+5,7\right)^'=3x^2 jne ehk üldiselt \left(x^3+C\right)^'=3x^2, kus C on suvaline reaal­arv.

Seega on funktsiooni f\left(x\right)=3x^2 alg­funktsioonideks funktsioonid F\left(x\right)=x^3+C, kus C ∈ R on konstant.

Joonisel 1.2 on esitatud mõned funktsiooni f\left(x\right)=2x alg­funktsioonid.

Joon 1.2

Kui funktsiooni f\left(x\right) alg­funktsiooniks on F\left(x\right), siis on selle funktsiooni alg­funktsiooniks ka iga funktsioon kujul F\left(x\right)+C, kus C on mis tahes reaal­arv (konstant). Tõe­poolest, kui F\ '\left(x\right)=f\left(x\right), siis ka \left[F\left(x\right)+C\right]^'=f\left(x\right), sest konstandi tuletis on null.

Tekib küsimus, kas funktsioonil f\left(x\right) võib leiduda veel teisigi alg­funktsioone peale nende, mis avalduvad kujul F\left(x\right)+C.

TEOREEM. Funktsiooni f (x) iga alg­funktsioon avaldub kujul F (x) + C, kus F '(x) = f (x) ja C on mingi konstant.

Tõestus

Olgu funktsioonil f (x) veel mingi alg­funktsioon G (x). Siis kehtivad võrdused F '(x) = f (x) ja G '(x) = f (x). Moodustame uue funktsiooni H (x) = G (x) – F (x) ja leiame selle tuletise:

H '(x) = [G (x) – F (x)]' = G '(x) – F '(x) = f (x) – f (x) = 0.

Saime, et H '(x) = 0. Järelikult on H (x) konstantne funktsioon, sest vaid konstantse funktsiooni tuletis on null iga x korral selle funktsiooni määramis­piirkonnast. Seega H (x) = G (x) – F (x) = C ehk G (x) = F (x) + C. Viimane võrdus ütlebki, et funktsiooni f (x) iga alg­funktsioon avaldub kujul F (x) + C. ♦

Näide.

Leiame funktsiooni f (x) = 2x + 3 alg­funktsioonid ja sellise alg­funktsiooni, mille graafik läbib punkti A(1; 9).

Proovimise teel võime leida, et F (x) = x2 + 3x, sest (x2 + 3x)' = 2x + 3. Seega funktsiooni f (x) = 2x + 3 kõik alg­funktsioonid avalduvad kujul G (x) = x2 + 3x + C. Alg­funktsioonide graafikuteks on ühe­suguse kujuga paraboolid, mis on saadud üks­teisest lükkel y-telje sihis (joon. 1.3).

Järgnevalt leiame, mis­suguse C väärtuse korral läbib alg­funktsiooni graafik punkti A ehk millise C korral rahuldab arvu­paar (1; 9) võrrandit

y=x^2+3x+C.

Asendades x = 1 ja y = 9 võrrandisse, saame 9 = 12 + 3 · 1 + C, millest C = 5.

Vastus. Funktsiooni f (x) = 2x + 3 alg­funktsioonid avalduvad kujul G (x) = x2 + 3x + C ja punkti A(1; 9) läbib alg­funktsiooni F (x) = x2 + 3x + 5 graafik.

Joon. 1.3
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 10. Alg­funktsioon

F\left(x\right)=x^4+2; f\left(x\right)=4x^3

F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+5; f\left(x\right)=x^2+x

F\left(x\right)=x\left(3x^2-4x+2\right); f\left(x\right)=9x^2-8x+2

F\left(x\right)=3x^3-x+3; f\left(x\right)=\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)

F\left(x\right)=-5^{-1}x^{-5}+x^{-2}; f\left(x\right)=x^{-6}-2x^{-3}

Ülesanne 11. Alg­funktsioon

Funktsioon

Alg­funktsioonid

f\left(x\right)=-7

f\left(x\right)=3x^2

f\left(x\right)=\sin x

Funktsioon

Alg­funktsioonid

f\left(x\right)=2x-1

f\left(x\right)=2x^{-1}

f\left(x\right)=4x^3+2x

Ülesanne 12. Alg­funktsiooni graafik

f\left(x\right)=2x-1, C=3

F (x) = 

f\left(x\right)=4, C=-1

F (x) = 

f\left(x\right)=3x^2, C=2

F (x) = 

f\left(x\right)=4x, C=4

F (x) = 

Ülesanne 13. Alg­funktsioon

Kumb funktsioonidest F\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1} ja G\left(x\right)=\frac{-2}{x+1} on funktsiooni f\left(x\right)=2\left(x+1\right)^{-2} alg­funktsiooniks?

Vastus. 

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 14. Alg­funktsioon

F\left(x\right)=\sqrt{x}+\ln x; f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+2}{2x}

F\left(x\right)=\cos x+\frac{x^5}{10}-4; f\left(x\right)=\frac{x^4-2\sin x}{2}

F\left(x\right)=x^2\tan x+C; f\left(x\right)=2x\tan x+\frac{x^2}{\cos^2x}

Ülesanne 15. Alg­funktsioon

Vastus. Seda võrdus rahuldab alg­funktsioon F (x) = .

Ülesanne 16. Funktsiooni maksimaalne väärtus

Vastus. Selle funktsiooni maksimaalne väärtus on .

Ülesanne 17. Alg­funktsioon

Näidake, et funktsioonid F\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2+1} ja G\left(x\right)=-\frac{x^2+3}{x^2+1} on ühe ja sama funktsiooni alg­funktsioonid.

Ülesanne 18. Alg­funktsioon

Näidake, et funktsioonid F\left(x\right)=\cos2x ja G\left(x\right)=-2\sin^2x on ühe ja sama funktsiooni alg­funktsioonid. Kuidas teha seda ilma diferentseerimis­valemeid kasutamata?

Seotud sisu
Muud tegevused