Määramata integraal

Eelmises peatükis nägime, et funktsiooni diferentseerimise pöördoperatsioon on algfunktsiooni leidmine. Seda pöördoperatsiooni nimetatakse integreerimiseks. Funktsiooni f (x) algfunktsioonide üldavaldist F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Konstanti C nimetatakse määramata konstandiks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga \int f\left(x\right)dx (loetakse: integraal ef iks de iks).Seega on funktsiooni f määramata integraal defineeritud järgmise valemiga:

$\int f (x) d x = F (x) + C$ , kus F '(x) = f (x).

Sümbolit ∫ nimetatakse integraali märgiks, muutujat x integreerimismuutujaks, avaldist f (x)dx integreeritavaks avaldiseks, funktsiooni f (x) integreeritavaks funktsiooniks ning avaldisi \int f\left(x\right)dx ja F (x) + C funktsiooni f (x) määramata integraaliks. Sümbol dx tähistab argumendi x diferentsiaali ja see on võrdne argumendi muuduga Δx ehk dx = Δx.

Näide. \int 2xdx=x^2+C, sest \left(x^2\right)^'=2x;\int 0dx=C, sest C' = 0;\int \cos x\ dx=\sin x+C, sest (sin x)' = cos x.

Tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja selle tähis on dy. Seega leitakse funktsiooni diferentsiaal valemiga dy = y' dx. Rakendades seda valemit algfunktsioonile F (x) + C saamed[F (x) + C] = [F (x) + C]'dx = F ′(x)dx = f (x)dxehk kokku võttesd\int f\left(x\right)dx=f\left(x\right)dx.Seega jääb funktsioon muutumatuks, kui seda kõigepealt integreerida ja seejärel diferentseerida.Kui aga diferentseerimisele järgneb integreerimine, saame\int dF\left(x\right) = \int F\ '\left(x\right)dx = \int f\left(x\right)dx = F\left(x\right)+Cehk kokku võttes\int dF\left(x\right)=F\left(x\right)+C.Saadud funktsioon erineb esialgsest funktsioonist konstandi poolest. Järelikult on diferentseerimine ja integreerimine tõepoolest teineteise pöördtehted.Igale tuletise leidmise põhivalemile F '(x) = f (x) võime määramata integraali definitsiooni kohaselt leida vastava integreerimisvalemi \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C. Tuletame järgnevas mõnede funktsioonide integreerimise valemid.

Seotud sisu

1. Astmefunktsiooni integreerimine

Teame, et astmefunktsiooni y = x^a diferentseerimisel kehtib valem (x^a)' = ax^a–1 kus a on reaalarv. Seega väheneb astmefunktsiooni diferentseerimisel astendaja ühe võrra. toimub aga vastupidine protsess – astendaja suureneb ühe võrra. On kerge veenduda, et\int 1dx=\int x^0dx=x+C, \int xdx=\frac{x^2}{2}+C, \int x^2dx=\frac{x^3}{3}+C.Neid võrdusi üldistades saame \int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C, välja arvatud juhul a = –1. Kontrollime viimase võrduse kehtivust määramata integraali definitsiooni järgi:\left(\frac{x^{a+1}}{a+1}\right)^'=\frac{\left(a+1\right)x^a}{a+1}=x^a.Seega tõepoolest

$\int x^{a} d x = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$ , kui a ≠ 1.

Kui a = –1, siis x^a=x^{-1}=\frac{1}{x}. Teame, et x > 0 korral \left(\ln x\right)^'=\frac{1}{x} ja seega \int \frac{1}{x}dx=\ln x+C. Kui x < 0, siis \left(\ln\left(-x\right)\right)^'=\frac{1}{-x}\cdot\left(-1\right)=\frac{1}{x}. Seega kokku võttes

$\int \frac{d x}{x} = ln | x | + C$ ,

sest vastavalt arvu absoluutväärtuse definitsioonile

$|x| = \{\begin{cases} x, kui x \geq 0 \\ - x, kui x < 0 . \end{cases}$

Seotud sisu

2. Eksponentfunktsiooni integreerimine

Teame, et \left(a^x\right)^'=a^x\ln a ja \left(\frac{a^x}{\ln a}\right)^'=\frac{a^x\ln a}{\ln a}=a^x. Seega

$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{ln a} + C$ ja järelikult $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

Seotud sisu

3. Summa integreerimine

Eeldame, et on olemas määramata integraalid \int f\left(x\right)dx ja \int g\left(x\right)dx. Järgnevas uurime, kuidas avaldub nende kaudu \int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx.Teame, et(1) \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1 ja (2) \int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)+C_2, kui F\ '\left(x\right)=f\left(x\right) ja G\ '\left(x\right)=g\left(x\right).Moodustame uue funktsiooni H\left(x\right)=F\left(x\right)+G\left(x\right) ja diferentseerime seda:H\ '\left(x\right) = \left[F\left(x\right)+G\left(x\right)\right]^' = F\ '\left(x\right)+G\ '\left(x\right) = f\left(x\right)+g\left(x\right).Määramata integraali definitsiooni kohaselt\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C. (3)Teiselt poolt saame võrduste (1) ja (2) liitmisel, et\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C_1+C_2. (4)Kahe määramata konstandi summa C₁ + C₂ on samuti määramata konstant, mille võimegi tähistada C-ga. Seega on võrduste (3) ja (4) paremad pooled võrdsed, järelikult on võrdsed ka võrduste vasakud pooled ning kehtib valem

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Seega summa integreerimisel võib integreerida iga liidetavat eraldi.

Tõestage analoogiliselt valem vahe f (x) – g (x) integreerimiseks.

Seotud sisu

4. Konstandiga korrutatud funktsiooni integreerimine

Eeldame, et on olemas määramata integraal \int f\left(x\right)dx. Uurime, kuidas leida \int af\left(x\right)dx, kus a on mingi konstant. Teame, et \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C, kus F\ '\left(x\right)=f\left(x\right). Moodustame avaldise a\left[F\left(x\right)+C\right]=aF\left(x\right)+aC ja tähistame määramata konstandi aC=C_1. Avaldis kujul aF\left(x\right)+C_1 on funktsiooni af (x) algfunktsioon, sest\left(aF\left(x\right)\right)^'=aF\ '\left(x\right)=af\left(x\right).Seega\int af\left(x\right)dx = aF\left(x\right)+C_1 = aF\left(x\right)+aC = a\left[F\left(x\right)+C\right] = a\int f\left(x\right)dxja kehtib valem

$\int a f (x) d x = a \int f (x) d x$ .

Seega võib konstantse teguri tuua integraali märgi alt integraali märgi ette.

Seotud sisu

5. Integreerimise põhivalemid

$\int a f (x) d x = a \int f (x) d x$

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

$\int d x = x + C$

$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C$

$\int x^{a} d x = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$ , a ≠ –1

$\int \frac{d x}{x} = ln | x | + C$

$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{ln a} + C$

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

$\int sin x d x = - cos x + C$

$\int cos x d x = sin x + C$

$\int \frac{d x}{{cos}^{2} x} = tan x + C$

$\int \frac{d x}{{sin}^{2} x} = - cot x + C$

Näide 1.

\int 3x^{-4}dx = 3\int x^{-4}dx = 3\cdot\frac{x^{-4+1}}{-4+1}+C = \frac{3x^{-3}}{-3}+C = -x^{-3}+C

\int \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x^3}}{x}dx = \int \frac{\sqrt{x}}{x}dx-\frac{\sqrt{x^3}}{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}-1}dx-\int x^{\frac{3}{2}-1}dx = \int x^{-\frac{1}{2}}dx-\int x^{\frac{1}{2}}dx =\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}-\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}-\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C = 2\sqrt{x}-\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C.

Näide 2.

Pesumasinas on 12 l vett, mida hakatakse välja pumpama. Pumpamise käigus kogunevad pesu küljest eraldunud ebemed väljavoolutoru otsa juurde ja seetõttu masina tühjenemise kiirus järjest väheneb. Masina tühjenemise kiirus (liitrit sekundis) väheneb nii, et t sekundi järel on tühjenemise kiirus v (t) = 3 − 0,6t.

Leiame, mitme sekundi järel vee väljavool lõpeb.
See juhtub, kui voolu kiirus on 0. Võrrandist 3 − 0,6t = 0 saame, et t = 5. Järelikult lõpeb vee väljavool masinast 5 sekundi pärast.
Leiame valemi, mis kirjeldab masinas oleva vee kogust K (t), kui tühjenemise algusest on möödunud t sekundit. Teame, et v (t) on masina tühjenemise kiirus ehk väljavoolanud vee kogust kirjeldava funktsiooni tuletis. Järelikult ajahetkeks t väljavoolanud vee kogus on leitav järgmiselt: \int v\left(t\right)dt = \int \left(3-0,6t\right)dt = 3t − 0,3t² + C. Kui t = 0, on välja voolanud 0 liitrit vett ja järelikult C = 0. Seega on t sekundi järel masinas oleva vee kogus K (t) =12 − (3t − 0,3t²) = 12 − 3t + 0,3t². Siit saame näiteks arvutada, et 2 sekundi järel on masinas 7,2 l vett.

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 19. Määramata integraal

\int 6xdx =

\int 2x^3dx =

\int \left(x+1\right)\left(x-1\right)dx =

\int \left(4x^{-5}+x^{-2}\right)dx =

\int x^2\left(3-x\right)dx =

\int \left(x-2\right)\left(x+3\right)dx =

\int \left(x^3x^5+x^{-2}x^2\right)dx =

\int \left(t-1\right)\left(t^3+1\right)dt =

\int \left(u+2\right)\left(u^2-2u\right)du =

\int \left(5x^{-2}-3x^{-3}\right)dx =

\int \frac{x^2-9}{x+3}dx =

\int \frac{x^2-1}{5x+5}dx =

\int e^{x+2}dx =

\int e^2x^{-3}dx =

\int \left(\frac{6}{t}+t^2\right)dt =

Ülesanne 20. Algfunktsioon

Vastus. F(x) =

Ülesanne 21. Algfunktsioon

Vastus. F(x) =

Ülesanne 22. Algfunktsioon

Vastus. F (0) =

Ülesanne 23. Algfunktsioon

F\left(0\right)=4?
Vastus. F (x) =
F\left(1\right)=2?
Vastus. F (x) =

Ülesanne 24. Funktsiooni leidmine

Vastus. Otsitav funktsioon on f (x) = .

Ülesanne 25. Algfunktsioon

Vastus. F(x) =

Ülesanne 26. Funktsiooni ja tema tuletise valemid

Joon 1.4

Vastus. f '(x) = ja f (x) =

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 27. Määramata integraal

\int x^2\sqrt{x}dx =

\int \left(x-2\sqrt{x}\right)^2dx =

\int \left(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}\right)dx =

\int \frac{1+x^2}{x^5}dx =

\int \frac{\left(x-2\right)^2}{2x}dx =

\int \frac{\left(2x-5\right)^2}{x^2}dx =

\int \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x}\right)dx =

\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^3}\right)dx =

\int \left[\left(x^{-1}\right)^2-\sqrt{x}\right]dx =

\int \frac{2x^2-3x+1}{3x-3}dx =

\int \frac{8x^2-2x-1}{4x+1}dx =

\int \frac{2x^2+10x+12}{x+3}dx =

Ülesanne 28. Määramata integraal

\int \sin\frac{\pi}{6}\cos x\ dx =

\int \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)dx =

\int \sin\left(2\pi-t\right)dt =

\int 2\cdot4^xdx =

\int \left(e^x+2^x\right)dx =

\int e^{-1}\cdot e^xdx =

\int 2^{x+3}dx =

\int \left(5^x-\cos x\right)dx =

\int \left(e^ux-u^2e^x\right)dx =

Ülesanne 29. Määramata integraal

\int \left[\frac{\pi}{2}-\sin\left(\pi+x\right)\right]dx =

\int \left[\left(\sin x-\cos x\right)^2+\sin2x\right]dx =

\int \frac{8-\cos^3x}{\cos^2x}dx =

\int \frac{4dx}{4\sin^4x+\sin^22x} =

\int \sin^2\frac{x}{2}dx =

\int \left(2x+1\right)^3dx =

\int \left(3x-x^2\right)^3dx =

\int \frac{4dx}{4\cos^4x+\sin^22x} =

\int \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)dx =

\int \frac{\sin^2x}{\cos^2x}dx =

\int \frac{\sin^2x-3\cos^2x}{\cos^2x}dx =

\int \frac{\cos2t}{\sin^2t\cos^2t}dt =

\int \frac{dx}{\sin^2x\cos^2x} =

\int \frac{\cos^2x}{1-\sin x}dx =

\int \frac{1+\cos^2x}{1-\sin^2x}dx =

\int \frac{3^{2x}-3\cdot3^{x+2}}{3^x}dx =

\int \frac{2^{2x}-2\cdot2^x-3}{2^x-3}dx =

Ülesanne 30. Funktsiooni leidmine

Leidke funktsioon f, mille tuletis on \frac{1}{x\sqrt{x}} ja mille väärtus on 0, kui x = 4. Leidke selle funktsiooni määramispiirkond.

Vastus. f (x) = ; X =

Ülesanne 31. Funktsiooni leidmine

Leidke funktsioon f, kui f ''(x) = sin x – cos x, f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2 ja f\left(\pi\right)=1.

Vastus. f(x)=

Ülesanne 32. Algfunktsioon

Vastus. F(x)= . Kogu määramispiirkonnas on ainult negatiivsed väärtused, kui .

Ülesanne 33. Algfunktsioon

Vastus. F (x) =

Ülesanne 34. Algfunktsioon

Vastus. F (x) =

Ülesanne 35. Parameetri väärtus

Vastus. a =

Ülesanne 36. Sirgjooneline liikumine

Vastus. f (t) =

Ülesanne 37. Rakett

Vastus. Kolme esimese sekundiga on rakett läbinud m. Selleks oleks kulunud siis sekundit.

Ülesanne 38. Õhupalli tühjenemine

Vastus. Pallist ei tulnud enam õhku välja sekundi järel. Kogu tühjenemise jooksul väljus pallist liitrit õhku.

Ülesanne 39. Algfunktsioon

Missugune selle funktsiooni algfunktsioonidest rahuldab seost F (2) = 1?
Vastus. F (x) =
Missuguse algfunktsiooni graafiku käänupunkt asub sirgel y = 0?
Vastus. F (x) =
Missuguste algfunktsioonide graafikutele on sirge y = 2x – 1 puutujaks?
Vastus. F (x) = ja F (x) =

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Määramata integraal

Seotud sisu

1. Astme­funktsiooni integreerimine

Seotud sisu

2. Eksponent­funktsiooni integreerimine

Seotud sisu

3. Summa integreerimine

Seotud sisu

4. Konstandiga korrutatud funktsiooni integreerimine

Seotud sisu

5. Integreerimise põhi­valemid

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 19. Määramata integraal

Ülesanne 20. Alg­funktsioon

Ülesanne 21. Alg­funktsioon

Ülesanne 22. Alg­funktsioon

Ülesanne 23. Alg­funktsioon

Ülesanne 24. Funktsiooni leidmine

Ülesanne 25. Alg­funktsioon

Ülesanne 26. Funktsiooni ja tema tuletise valemid

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 27. Määramata integraal

Ülesanne 28. Määramata integraal

Ülesanne 29. Määramata integraal

Ülesanne 30. Funktsiooni leidmine

Ülesanne 31. Funktsiooni leidmine

Ülesanne 32. Alg­funktsioon

Ülesanne 33. Alg­funktsioon

Ülesanne 34. Alg­funktsioon

Ülesanne 35. Parameetri väärtus

Ülesanne 36. Sirg­jooneline liikumine

Ülesanne 37. Rakett

Ülesanne 38. Õhu­palli tühjenemine

Ülesanne 39. Alg­funktsioon

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

1. Astmefunktsiooni integreerimine

2. Eksponentfunktsiooni integreerimine

5. Integreerimise põhivalemid

Ülesanne 20. Algfunktsioon

Ülesanne 21. Algfunktsioon

Ülesanne 22. Algfunktsioon

Ülesanne 23. Algfunktsioon

Ülesanne 25. Algfunktsioon

Ülesanne 32. Algfunktsioon

Ülesanne 33. Algfunktsioon

Ülesanne 34. Algfunktsioon

Ülesanne 36. Sirgjooneline liikumine

Ülesanne 38. Õhupalli tühjenemine

Ülesanne 39. Algfunktsioon