Võtame järgnevas kokku oma senised teadmised tasandigeomeetria kujunditest. Seni oleme tutvunud erinevate hulknurkadega, ringi ja ringjoone mõistetega. Hulknurki liigitasime:
- kolmnurkadeks, nelinurkadeks jne,
- korrapärasteks ja mittekorrapärasteks hulknurkadeks ning
- kumerateks ja mittekumerateks hulknurkadeks.
Korrapäraseks nimetatakse hulknurka, mille kõik küljed ja kõik nurgad on võrdsed.
Ülejäänud hulknurgad on mittekorrapärased.
Kumeraks nimetatakse hulknurka, mille kõik diagonaalid kuuluvad hulknurga sisepiirkonda.
Ülejäänud hulknurgad on mittekumerad.
Kolmnurga erinevate liikidena oleme tutvunud
- teravnurkse, täisnurkse ja nürinurkse kolmnurgaga;
- isekülgse ja võrdhaarse kolmnurga ning
- võrdhaarse kolmnurga ühe eriliigi, võrdkülgse kolmnurgaga.
Ülesanded A
Ülesanne 125. Kolmnurkade liigitamine
- nürinurk?
- teravnurk?
- täisnurk?
Ülesanne 126. Kolmnurkade liigitamine
- võrdhaarseks?
- isekülgseks?
- võrdkülgseks?
Ülesanne 127. Kolmnurkade liigitamine
Ülesanne 128. Kolmnurkade liigitamine
 |  |  |  |
0 | |||
2 | |||
3 |
Ülesanne 129. Kolmnurkade liigitamine
 | | | |
0 | |||
2 | |||
3 |
Ülesanne 130. Nurgad
Ülesanne 131. Nurgad
Ülesanne 132. Kolmnurga nurgad
- Leidke jooniselt võrdseid nurki. Miks need nurgad on võrdsed?
- Kuidas on seotud kolmnurga välisnurga suurus selle nurgaga mittekõrvu olevate sisenurkade suurustega?
- Kui suur on kolmnurga sisenurkade summa?
Vastus. Kolmnurga sisenurkade summa on °.
Ülesanne 133. Kolmnurkade võrdus
Ülesanne 134. Ristkülik ja kolmnurk
- Millisteks kolmnurkadeks jaotab diagonaal selle ristküliku?
- Millise kolmnurkade võrdsuse tunnuse põhjal on need kolmnurgad võrdsed?
- Kuidas avaldub täisnurkse kolmnurga pindala kolmnurga kaatetite kaudu?
Vastus. S =
Ülesanne 135. Kolmnurga pindala
Kolmnurkade sarnasus
Geomeetria probleemide lahendamisel kasutame sageli hulknurkade sarnasust. Meenutame, et
lõike a1; b1; c1; … nimetatakse võrdelisteks lõikudega a2; b2; c2; … siis, kui
, kus k on võrdetegur.
Kaht hulknurka nimetatakse teineteisega sarnaseks, kui nende hulknurkade küljed on võrdelised ja vastavad nurgad on võrdsed.
Ülesanded A
Ülesanne 136. Sarnased hulknurgad
Ülesanne 137. Kolmnurkade sarnasus
Ülesanne 138. Nurga lõikamine paralleelsete sirgetega
- Millised tekkinud kolmnurkadest on sarnased, miks?
- Leidke suhtega
\frac{AE}{AC} võrdne suhe ja kirjutage välja vastav võrdus. - Kasutades seoseid AE = AC + CE ja AD = AB + BD, leidke, millega võrdub suhe
\frac{CE}{BD} . - Sõnastage kiirteteoreem ja selle pöördteoreem.
Ülesanne 139. Tänavate mõõtmine
Leidke see kaugus, teades, et AB = 28 m, BD = 14 m ja AC = 20 m.
Vastus. CE = m
Ülesanne 140. Inimese vari
- Kuidas muutub Teie varju pikkus, kui lähenete valgusallikale? eemaldute valgusallikast?
- Arvutage varju pikkus, kasutades enda pikkust, valgusallika kaugust Teist ja seinast.
Ülesanne 141. Kolmnurga lõikamine alusega paralleelse sirgega
Vastus. Kolmnurga teine külg on cm pikkune.
Ülesanne 142. Kolmnurga lõikamine alusega paralleelse sirgega
Vastus. Väiksema kolmnurga kõrgus on cm ja alus cm.
Ülesanne 143. Trapetsi haarade pikendamine lõikumiseni
Vastus. Tekkinud suurema kolmnurga ümbermõõt on m.
Täisnurkne kolmnurk
Ülesanne 144. Täisnurkne kolmnurk
 Joon. 1.42 | ||||||
- Leidke erinevatest täisnurksetest kolmnurkadest summad α + γ ja α + β. Mida võib saadust järeldada nurkade γ ja β kohta? Millised kaks nurka on veel võrdsed?
- Kasutades esimeses alaülesandes saadut, leidke jooniselt kõik sarnaste kolmnurkade paarid.
- Täitke järgmised tabelid kirjutades neisse sarnaste kolmnurkade vastavad (võrdsete nurkade vastas olevad) küljed.
Nurk | ΔABC | ΔDBC | ||
90° | ||||
α |
Nurk | ΔABC | ΔADC | ||
90° | ||||
β |
Nurk | ΔADC | ΔDBC | ||
β | ||||
α |
- Millised võrded saame nendest tabelitest? Avaldage nendest võrretest a2, b2 ja h2.
Ülesanne 145. Täisnurkne kolmnurk
c2 = a2 + b2
a2 = fc
b2 = gc
h2 = fg
ab = hc
Ülesanded A
Ülesanne 146. Redel
Vastus. Redeli toetuspunkti kaugus maapinnast on m.
Ülesanne 147. Kuul
Vastus. Kuul eemaldub siis nööri tasakaaluasendist cm võrra.
Ülesanne 148. Võrdhaarne kolmnurk
Vastus. Haarale joonestatud kõrgus on cm.
Ülesanne 149. Täisnurkne kolmnurk
Vastus. Kaatetite pikkused on vastavalt
Ülesanne 150. Maja katus
Vastus. Maja harja kaugus laest on m.
Ülesanne 151. Täisnurkne kolmnurk
Vastus. Hüpotenuusile joonestatud kõrgus on cm.
Ülesanne 152. Täisnurkne kolmnurk
Vastus. Selle kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrgus on cm.
Ülesanne 153. Täisnurkne kolmnurk
Vastus. Hüpotenuus on cm ja teine kaatet cm.
Ülesanne 154. Probleemi uurimine
 Joon. 1.43 | ||||||
- Mis liiki on nelinurk A1B1C1D1? Miks?
- Leidke arvutil saadud nelinurga ja lähteruudu pindala. Selleks tuleb kujundid joonestada Hulknurga tööriistaga. Kujundi pindala on nähtav algebravaates või menüüvalikuga Näita väärtus. Kuidas on saadud pindalad seotud?
- Avaldage ruudu ja nelinurga A1B1C1D1 pindala lähteruudu külje a kaudu. Leidke saadud pindalade suhe.
Vastus. SABCD = , SA1B1C1D1 = . Nende suhe on . - Uurige sama probleemi (mis kujund tekib ja kuidas suhtuvad nende pindalad) juhul, kui lähtekujundiks on ristkülik.
Kolmnurga joonelemendid
Kolmnurkadega seonduvalt oleme õppinud tundma ja kasutama kolmnurga tähtsamaid joonelemente. Need on kolmnurga kõrgus, kesklõik, nurgapoolitaja ja küljepoolitaja ehk mediaan.
Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust selle tipu vastasküljele või külje pikendusele joonestatud ristlõiku.
Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte.
Kolmnurga sisenurga poolitaja on nurga tipust vastasküljeni joonestatud antud nurka poolitav lõik.
Kolmnurga küljepoolitaja ehk mediaan on kolmnurga tippu selle vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik.
Ülesanded A
Ülesanne 155. Kolmnurga kõrgused
- Mida võib öelda kolmnurga kõrgusi sisaldavate sirgete lõikumise kohta?
- Mis liiki kolmnurga korral asuvad kolmnurga kõik kõrgused kolmnurga sisepiirkonnas? Mis liiki kolmnurga korral on kaks neist kolmnurga välispiirkonnas, kolmnurga külgedel? Vastuste saamiseks muutke kolmnurga kuju ja jälgige kolmnurga suurima nurga väärtust.
Ülesanne 156. Kolmnurga pindala
Ülesanne 157. Kolmnurga kesklõigud
- Uurige kesklõikude paiknemist kolmnurga aluse suhtes ja võrrelge nende pikkust kolmnurga vastava aluse pikkusega.
- Sõnastage kolmnurga kesklõigu omadused.
- Mitmeks võrdseks kolmnurgaks jaotavad kesklõigud kolmnurga? Miks? Kuidas on seotud nende kolmnurkade pindala (ümbermõõt) lähtekolmnurga pindalaga (ümbermõõduga)?
- Kontrollige eelmise alaülesande vastuseid arvutil. Ümbermõõdu näitamiseks kasutage menüüvalikut Kaugus või pikkus.
Ülesanne 158. Kolmnurga mediaanid
 Joon. 1.44 | ||||||
- Joonestage lõik EF. Mis lõiguks on see lõik kolmnurgas ABC? Miks?
- Millise sarnasustunnuse põhjal on kolmnurgad EFM ja ABM sarnased? Kui suur on nende kolmnurkade sarnasustegur? Miks?
- Kuidas suhtuvad lõigud BM ja FM?
- Sõnastage kolmnurga mediaanide ehk küljepoolitajate lõikepunkti omadus.
Ülesanne 159. Kolmnurga mediaan
- Võrrelge tekkinud kahe väiksema kolmnurga aluseid, kõrguseid.
- Mida võib väita nende kolmnurkade pindalade kohta? Miks?
- Mida analoogilist märkate kolmnurga mediaani (küljepoolitaja) ja statistikas õpitud mediaani mõiste vahel?
Ülesanne 160. Kolmnurga mediaanid
- Mitu erinevat kolmnurka tekkis joonisel?
- Joonestage kõik väiksemad kolmnurgad Hulknurga tööriistaga üle ja leidke nende pindala. Mis selgub?
- Milliste joonisel olevate kolmnurkade pindvõrdsus järeldub veel eelmises alaülesandes saadust?
Ülesanne 161. Kolmnurga nurgapoolitaja
 | ||||||
Ülesanne 162. Kolmnurga nurgapoolitajad
Ülesanne 163. Kolmnurga kesklõigud
Vastus. Selle kolmnurga kesklõikudest moodustatud kolmnurga ümbermõõt on cm.
Ülesanne 164. Kolmnurga kesklõigud
Ülesanne 165. Kolmnurga mediaanid
Vastus. Mediaanide pikkused on cm, cm ja cm.
Ülesanne 166. Ruut ja kolmnurkade mediaanide lõikepunkti omadus
 Joon. 1.45 | ||||||
- Millises suhtes jaotab selline ühenduslõik ruudu diagonaali?
Vastus. Suhtes .
- Kuidas suhtuvad kolmnurkade S1, S2 ja S3 pindalad?
Vastus. Need pindalad suhtuvad nagu .
Näpunäide. Joonestage ka ruudu teine diagonaal ja kasutage kolmnurga mediaanide lõikepunkti omadust.
Ülesanne 167. Nelinurgad ja kolmnurkade mediaanide lõikepunkti omadus
- Ristküliku tipp on ühendatud selle tipu ühe vastaskülje keskpunktiga. Millises suhtes jaotab selline ühenduslõik ristküliku diagonaali? Kuidas suhtuvad tekkinud kolmnurkade pindalad (alates väikseimast)?
- Rööpküliku tipp on ühendatud selle tipu ühe vastaskülje keskpunktiga. Millises suhtes jaotab selline ühenduslõik rööpküliku diagonaali? Kuidas suhtuvad tekkinud kolmnurkade pindalad (alates väikseimast)?
- Trapetsi tipp on ühendatud selle tipu ühe vastaskülje keskpunktiga. Millises suhtes jaotab selline ühenduslõik trapetsi diagonaali? Kuidas suhtuvad tekkinud kolmnurkade pindalad (alates väikseimast)?
Millise omadusega nelinurkade korral kehtivad leitud seosed?
Ülesanne 168. Kolmnurga nurgapoolitaja
Vastus. Lõikudeks cm ja cm.
Ülesanne 169. Kolmnurga nurgapoolitaja
Vastus. Kolmas külg on cm.
Ülesanded B
Ülesanne 170. Täisnurkne kolmnurk
Vastus. Kaatetite projektsioonid hüpotenuusil on cm ja cm.
Ülesanne 171. Korrapärane kaheksanurk
Vastus. S =
Ülesanne 172. Rööpkülik
Vastus. Rööpküliku küljed on cm ja cm.
Ülesanne 173. Kolmnurgad
Vastus. Hüpotenuus on cm.
Ülesanne 174. Kolmnurga kõrguste lõikepunkt
Ülesanne 175. Tõestamine
Ülesanne 176. Tõestamine
Ülesanne 177. Kolmnurga mediaan
Vastus. Kolmnurga haar on cm või cm.
Ülesanne 178. Tõestamine
Ülesanne 179. Võrdhaarse kolmnurga tipu juures oleva välisnurga poolitaja
Ülesanne 180. Võrdhaarne kolmnurk
Vastus. Kolmnurga nurgad on °, ° ja °. Haara ja aluse suhe on
Ülesanne 181. Kolmnurga nurgapoolitajad
Vastus. ∠ANB =
Ülesanne 182. Kolmnurga nurgapoolitaja
Ülesanne 183. Kolmnurga nurgapoolitaja
Vastus. P = cm
Ülesanne 184. Kolmnurga nurgapoolitaja
Vastus. Täisnurga poolitaja pikkus avaldub kujul
Ülesanne 185.* Kolmnurga pindala
Ülesanne 186.* Rööpküliku pindala
- Mis liiki on nelinurk B1C1D1A1? Miks?
- Kuidas avaldub nelinurga B1C1D1A1 pindala rööpküliku ABCD pindala kaudu?
Näpunäide. Jaotage rööpkülik diagonaaliga pooleks ja leidke esmalt seos tekkinud kolmnurga kõrguse ning sellele kolmnurgale toetuvate vastavate kolmnurkade kõrguste vahel.
