Ring­joon. Ring ja kolm­nurk

Ülesanne 187. Ring­joon ja ring

Ülesanne 188. Mõisted
Joon. 1.47

OK – raadius
KM – kõõl
AB – diameeter
α – kaarele KL toetuv piirde­nurk
β – kaarele KL toetuv kesk­nurk
p – punkti M joonestatud puutuja

C=2\pi\cdot r

S=\pi\cdot r^2

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 189. Diameetri ja kõõlu vaheline nurk

Vastus. Nende­vaheline nurk on °.

Ülesanne 190. Puutuja ja puute­punkti joonestatud raadius

Ülesanne 191. Kujundite ümber­mõõdud ja pindalad
Joon. 1.48

Vastus. Alates suurimast kujundist: C1 =  cm, S1 =  cm2; P2 =  cm, S2 =  cm2; C3 =  cm, S3 =  cm2; P4 =  cm, S4 =  cm2.

Milliseid küsimusi ja ülesandeid saaks veel antud joonise põhjal koostada? Koostage ja lahendage neid arvuti abil.

Ülesanne 192. Piirde­nurgad

Saab näidata, et kehtib ka selle teoreemi pöörd­teoreem. Sõnastage see.

Ülesanne 193. Piirde­nurk ja kesk­nurk
  1. Mis liiki on kolm­nurk AKO? Millised nurgad on sel võrdsed?
  2. Kuidas on seotud kolm­nurga välis­nurk sellega mitte­kõrvu olevate sise­nurkade summaga?
  3. Kuidas on seotud nurgad K ja AOB? Miks? Sõnastage saadud seos.
  4. Selgitage, miks see seos kehtib ka juhul, kui piirde­nurga haar ei läbi ringi kesk­punkti. Sõnastage saadud seos üld­juhul.
  5. Kui suur on diameetrile toetuvale piirde­nurgale vastav kesk­nurk? Kui suur on diameetrile toetuv piirde­nurk?

Kõõl­neli­nurgaks nimetatakse neli­nurka, mille tipud asuvad ühel ja samal ring­joonel.

α + γ = β + δ = 180°

Ülesanne 194. Kõõl­neli­nurga vastas­nurkade omadus
  1. Joonestage kõõl­neli­nurk ja leidke selle vastas­nurkade summad.
  2. Põhjendage saadud tulemust, kasutades ühele ja samale kaarele toetuva kesk- ja piirde­nurga omadust. Sõnastage saadud tulemus teoreemina.
  3. Saab näidata, et kehtib ka selle teoreemi pöörd­teoreem. Sõnastage see.
Ülesanne 195. Aed
Joon. 1.49

Ülesanne 196. Kolm­nurga nurgad
  1. kolm­nurga välis­nurga omadusele.
  2. piirde- ja kesk­nurga vahelisele seosele.
Ülesanne 197. Ühest punktist joonestatud kõõlud

Vastus. Punkti A kaugus ring­joone kesk­punktist on  cm.

Ülesanne 198. Lõikuvad kõõlud
  1. Miks on joonisel tekkinud kolm­nurgad sarnased?
  2. Kirjutage välja kolm­nurkade vastavate külgede võrdsed suhted.
  3. Avaldage saadud võrdustest ühel kõõlul asuvate lõikude AK ja KB korrutis teisel kõõlul asuvate lõikude CK ja DK kaudu. Sõnastage saadud tulemus.
    Korrutis: 
Ülesanne 199. Lõikuvad kõõlud

Vastus. Esimese kõõlu lõigud on  cm ja  cm.

Ülesanne 200. Ring­joone lõikajad
Joon. 1.50
  1. Avaldage lõikude KB ja KA korrutis lõikude KC ja KD kaudu. Uurige selleks kolm­nurki KBD ja KCA.
    Vastus. 
  2. Punktid C ja D lähenevad teine­teisele mööda ring­joont kuni ühtimiseni. Milline ring­joone jaoks oluline joon tekib sellisel juhul sirgest KC?
    Vastus. Sellisel juhul on sirge KC ring­joone .
    Milliseks kujuneb nüüd eelmises ala­punktis saadud valem?
    Vastus. 
Ülesanne 201. Ring­joone puutuja

Vastus. Punkti A kaugus ring­joone kesk­punktist on  m

  • Milline võiks olla nendele andmetele vastav eluline ülesanne?

Ülesanne 202. Ring­joone puutuja ja lõikaja

Vastus. Lõikaja välise lõigu pikkus on  cm ja seesmise lõigu pikkus  cm.

Lõigu kesk­rist­sirgeks nimetatakse lõigu kesk­punkti läbivat lõiguga ristuvat sirget.

Nurga­poolitajaks nimetatakse kiirt, mis lähtub nurga tipust ja poolitab nurga.

Ülesanne 203. Lõigu kesk­rist­sirge
  1. Paigutage lõigu AB kesk­rist­sirgele seal vabalt liigutatav punkt C ja ühendage see lõigu ots­punktidega. Leidke lõikude AC ja BC pikkused. Mis selgub? Kas saadu jääb kehtima ka siis, kui liigutate punkti C sirgel? Sõnastage leitud omadus.
  2. Millise kolm­nurkade võrdsuse tunnuse abil saate selle omaduse põhjendada?
Ülesanne 204. Kolm­nurga külgede kesk­rist­sirged
  1. Joonestage kolm­nurk ABC ja selle kõikide külgede kesk­rist­sirged. Asetage ühele neist punkt K ja leidke selle kaugused kolm­nurga tippudest.
  2. Lohistage punkti K sirgel ja leidke punkt, mis on võrdsetel kaugustel kolm­nurga kõikidest tippudest. Selgitage, miks need kaugused on võrdsed.
  3. Millises punktis asub kolm­nurga ümber­ring­joone kesk­punkt?
  4. Uurige, kuidas on seotud terav­nurkse kolm­nurga nurgad külgede kesk­rist­sirgete vaheliste terav­nurkadega. Nurkade mõõtmiseks märkige kesk­rist­sirgete lõike­punktid üks­teise ja kolm­nurga külgedega.
Ülesanne 205. Nurga­poolitaja
  1. Joonestage kaks punktist A lähtuvad kiirt ja nende­vahelise nurga poolitaja. Paigutage sellele punkt B ning joonistage sellest mõlemale nurga haarale kaugust mõõtvad rist­lõigud BC ja BD (esmalt rist­sirged, see­järel vajalikud lõigud). Leidke nende lõikude pikkused. Mis selgub? Sõnastage saadud omadus.
  2. Millise kolm­nurkade võrdsuse tunnuse abil saame selle omaduse põhjendada?
Ülesanne 206. Kolm­nurga sise­ring­joone kesk­punkt
  1. Joonestage kolm­nurk ABC ning nurkade A ja B poolitajad.
  2. Paigutage ühele nurga­poolitajale punkt D ja konstrueerige rist­lõigud, mis mõõdavad selle punkti kaugust kolm­nurga külgedest.
    Et joonis oleks vähem koormatud, on sageli ots­tarbekas osa joonise mitte­olulisi detaile peita (antud juhul näiteks rist­sirged).
  3. Lohistage punkti D sirgel ja leidke punkt, mis asub kolm­nurga külgedest võrdsetel kaugustel. Põhjendage.
  4. Millises punktis asub kolm­nurga sise­ring­joone kesk­punkt?
Ülesanne 207. Kolm­nurga ümber­ring­joon
  1. Uurige, mis liiki kolm­nurga ümber­ring­joone kesk­punkt asub kolm­nurga sise­piirkonnas, kolm­nurga ühel küljel, kolm­nurga välis­piirkonnas.
  2. Kuidas on seotud täis­nurkse kolm­nurga ümber­ring­joone raadius ja hüpotenuus?
Ülesanne 208. Ring­joone puutujad

Ülesanne 209. Puutuja­nelinurk

Ülesanne 210. Täis­nurkse kolm­nurga sise­ring­joone raadius
Joon. 1.51

r=a + b - c2

Ülesanne 211. Täis­nurkse kolm­nurga ümber- ja sise­ring­joone raadius

Vastus. Ümber­ring­joone raadius on  cm ja sise­ring­joone raadius  cm.

Ülesanne 212. Kolm­nurga pindala
Joon. 1.52

S=pr

Ülesanne 213. Võrd­haarse kolm­nurga sise­ring­joone pikkus

Vastus. Sise­ring­joone pikkus on  cm.

Ülesanne 214. Võrd­külgse kolm­nurga sise- ja ümber­ringide pindalade suhe

Vastus. Otsitav suhe on .

Ülesanne 215. Kujundite ümber­mõõdud ja pindalad
Joon. 1.53
  1. Leidke kõigi saadud kujundite pindalad ja ümber­mõõdud.

Vastus. Alates suurimast: S1 = , C1 = ; S2 = , P2 = ; S3 = , C3 = ; S4 = , P4 = .

  1. Millise osa moodustab väiksema ringi (kolm­nurga) pindala suurema ringi (kolm­nurga) pindalast?
    Vastus. Väiksema ringi pindala moodustab suurema ringi pindalast  ja väiksema kolm­nurga pindala moodustab suurema kolm­nurga pindalast .
  2. Milliseid küsimusi ja ülesandeid saaks veel antud joonise põhjal koostada? Koostage ja lahendage neid arvuti abil.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 216. Kolm­nurga pindala
Joon. 1.54
  1. Avaldage kolm­nurga pindala aluse c ja kõrguse h kaudu.
  1. Põhjendage kolm­nurkade AEC ja DBC sarnasus.
  2. Kasutades eelmises ala­ülesandes saadud sarnasust, avaldage kõrgus h kolm­nurga ümber­ring­joone raadiuse R ja külgede a ning b kaudu. Asendage saadud avaldis esimese ala­ülesande pindala valemisse.

S=abc4R

Ülesanne 217. Kolm­nurga nurgad

Vastus. Kolm­nurga nurgad on °, ° ja °.

Ülesanne 218. Võrd­haarse kolm­nurga alusele ja haarale joonestatud kõrguste suhe

Võrd­haarse kolm­nurga sise­ring­joone raadius on \frac{24}{13}\ \mathrm{cm} ja pindala 24 cm2. Leidke kolm­nurga alusele ja haarale joonestatud kõrguste suhe, kui haar on 10 cm.

Vastus. Otsitav suhe on .

Ülesanne 219. Täis­nurkne kolm­nurk

Avaldage r_1^2+r_2^2 kolm­nurga sise­ring­joone raadiuse R kaudu.

  1. Näidake, et sarnaste kolm­nurkade vastavatele külgedele joonestatud kõrgused suhtuvad nagu kolm­nurkade vastavad küljed.
  2. Toetudes eelmise ala­ülesande tulemusele, näidake, et sarnaste kolm­nurkade sise­ring­joonte raadiused suhtuvad nagu kolm­nurkade vastavad küljed.
  3. Kasutades ülesande tingimustega määratud kolm­nurkade sarnasust, leidke nende kolm­nurkade sise­ring­joonte raadiuste ja hüpotenuuside võrdsed suhted. Avaldage viimastele toetudes soovitud summa.
    Vastus. r_1^2+r_2^2 = 
Ülesanne 220. Täis­nurkse kolm­nurga ümber­ring­joone ja sise­ring­joone kesk­punktide vaheline kaugus

Vastus. d2 = 

Seotud sisu
Muud tegevused