Hulk­nurga projektsiooni pindala

Peatükis 2.3 uurisime, kuidas muutub nurga rist­projektsiooni suurus tasandil sõltuvalt nurga asendist. Vaatame nüüd, millest ja kuidas sõltub hulk­nurga rist­projektsiooni pindala tasandil. Alustame nagu nurga korralgi eri­juhust. Vaatleme esmalt kolm­nurga rist­projektsiooni tasandil, kui kolm­nurga üks külgedest asub tasandil või on sellega paralleelne. Lihtne katse võimaldab vastata järgmistele küsimustele.

Ülesanne 404. Kolm­nurga rist­projektsiooni pindala
  1. Millal on kolm­nurga rist­projektsiooni pindala tasandil suurim? Kui suur?
  2. Millal on kolm­nurga rist­projektsiooni pindala tasandil vähim? Kui suur?
  3. Millest sõltub kolm­nurga rist­projektsiooni pindala tasandil?

TEOREEM. Kolm­nurga rist­projektsiooni pindala tasandil on võrdne tema pindala ja kolm­nurga tasandi ning projektsiooni tasandi vahelise nurga koosinuse korrutisega.

Tõestus

Vaatleme esmalt juhtu, kus kolm­nurga üks külg asub tasandil, kuhu kolm­nurk projekteeritakse. Asugu kolm­nurga ABC külg AB tasandil α ja moodustagu kolm­nurga tasand tasandiga α nurga φ (joon. 2.21). Avaldame projektsiooni ABC' pindala kolm­nurga ABC pindala kaudu.

Joonestame selleks kolm­nurkade ühisele alusele AB kõrgused.

Joon. 2.21​

Kolme rist­sirge teoreemist järeldub, et neil kõrgustel on alusel AB ühine alus­punkt D. Seega moodustavad joonestatud kõrgused ja lõik CC' täis­nurkse kolm­nurga DCC'. Sellest kolm­nurgast leiame, et DC' = DC · cos φ. Arvutades nüüd kolm­nurga ABC' pindala saame, et

S_{ABC'} = \frac{1}{2}AB\cdot DC' = \frac{1}{2}AB\cdot DC\cdot\cos\varphi = S_{ABC}\cdot\cos\varphi.

Et kolm­nurga rist­projektsioonid paralleelsetel tasanditel on võrdse pindalaga (joon. 2.22), siis jääb sama valem jõusse ka juhul, kui kolm­nurga ABC külg AB on paralleelne tasandiga α.

Joon. 2.22

Kui kolm­nurga ükski külg pole paralleelne tasandiga α, siis on kolm­nurka alati võimalik tükeldada kaheks selliseks osa­kolm­nurgaks, millest kummalgi on üks külg paralleelne tasandiga α. Selleks tuleb kolm­nurga tasandil leida selline kolm­nurga tippu läbiv sirge, mis on tasandiga α paralleelne (joon. 2.23). Et ülal­leitud seos kehtib kummagi nii saadud osa­kolm­nurga pindalade korral, siis kehtib see ka kogu kolm­nurga pindala korral.

Joon. 2.23​

Nii olemegi tõestanud teoreemis väidetu suvalise kolm­nurga tarvis. ♦

Kasutades sama tükeldamise võtet on lihtne tõestada (tehke seda!) järgmine teoreem.

TEOREEM. Hulk­nurga projektsiooni pindala tasandil on võrdne tema pindala ja hulk­nurga tasandi ning projektsiooni tasandi vahelise nurga koosinuse korrutisega.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 405. Kolm­nurga rist­projektsiooni pindala

Vastus. Selle kolm­nurga projektsiooni pindala on  cm2.

Ülesanne 406. Kuuri katuse pindala

Vastus. Selle kuuri katuse pindala on  cm2.

Ülesanne 407. Kolm­nurkne püramiid

Vastus. Selle tahu pindala on  cm2.

Ülesanne 408. Torni katuse pindala

Vastus. Torni katuse pindala on  cm2.

Ülesanne 409. Püst­rööp­tahukas

Vastus. Rööp­tahuka teine põhi­serv on .

Ülesanne 410. Korra­pärane neli­nurkne prisma

Vastus. Nii saadud lõike pindala on  cm2.

Ülesanne 411. Korra­pärane kuus­nurkne prisma

Vastus. Tekkinud lõike pindala on  cm2.

Ülesanne 412. Korra­pärane kolm­nurkne prisma

Vastus. Tekkinud lõike pindala on  cm2.

Ülesanne 413. Korra­pärane kolm­nurkne prisma

Tekst õpetajale
Selle tasandi ja prisma põhitahu vahelise nurga x korral cos x=3tan α2.
Ülesanne 414. Rist­tahukas
Joon. 2.24

Vastus. Tekkinud lõike pindala on  m2.

Seotud sisu
Muud tegevused