Kahe sirge lõike­punkt. Nurk sirgete vahel

Näide 1.

Teades, et sirged s ja t lõikuvad, leiame nende lõike­punkti koordinaadid.

s:\frac{x-7}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{1} ja $$ t:\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=-6+t\\ z=-1+2t\end{array}\right.$$

Leiame algul sirge t kanoonilised võrrandid:

t:\frac{x-4}{1}=\frac{y+6}{1}=\frac{z+1}{2}.

Sirgete lõike­punkti abstsissi ja ordinaadi saame, kui lahendame võrrandi­süsteemi:

$$ \left\{\begin{array}{l}\frac{x - 7}{2}=\frac{y + 2}{3}\\ \frac{x - 4}{1}=\frac{y + 6}{1}\end{array}\right.$$ ⇒ $$ \left\{\begin{array}{l}3x-2y=25\\ x-y=10\end{array}\right.$$ ⇒ $$ \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-5\end{array}\right.$$.

Lõike­punkti aplikaadi leiame näiteks võrrandist \frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{1}. Et y=-5, siis \frac{-5+2}{3}=\frac{z-2}{1}, millest z=1. Ka võrrandist \frac{y+6}{1}=\frac{z+1}{2} saaksime, et z=1.

Vastus. Sirgete s ja t lõike­punkt on (5; –5; 1).

Näide 2.

Leiame nurga sirgete s ja t vahel, kui $$ s:\left\{\begin{array}{l}x=2-5t\\ y=1+2t\\ z=t\end{array}\right.$$ ja $$ t:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-2t\\ z=1-6t\end{array}\right.$$.

Et \vec{s}=\left(-5;\ 2;\ 1\right) ja \vec{t}=\left(3;\ -2;\ -6\right), siis

\vec{s}\cdot\vec{t}=-15-4-6=-25 ning

\left|\vec{s}\right|=\sqrt{25+4+1}=\sqrt{30} ja \left|\vec{t}\right|=\sqrt{9+4+36}=7.

Leides sirgete sihi­vektorite vahelise nurga koosinuse, saame \cos\mathrm{\varphi}=\frac{-25}{7\sqrt{30}}\approx-0,652, millest \mathrm{\varphi}\approx\arccos\left(-0,652\right). Kuna \cos\mathrm{\varphi}<0, siis on nurk φ teise veerandi nurk ja järelikult nüri­nurk. Seega sirgete s ja t vaheline nurk α on nurga φ kõrvu­nurk, s.t

\mathrm{\alpha}=\pi-\mathrm{\varphi}\approx\pi-\arccos\left(-0,652\right).

Et \arccos\left(-0,652\right)=\pi-\arccos0,652, siis

\mathrm{\alpha} ≈ \pi-\left(\pi-\arccos0,652\right) = \arccos0,652 ≈ 49\degree18'.

Vastus. Sirgete s ja t vaheline nurk on 49\degree18'.