Tasandi võrrand

Ülesanne 600. Tasandi määramine

Leida tasandi võrrand, see tähendab leida seos, mida rahuldavad selle tasandi mis tahes punkti koordinaadid ja ainult need.

Olgu A(x1; y1; z1) tasandi α mingi punkt ja \vec{n}=(a;\ b;\ c) sama tasandi normaal­vektor, s.t tasandi normaali n sihi­vektor (joon. 2.62). Jooniselt näeme, et kui mingi punkt P(x; y; z) kuulub tasandile α, siis vektorid \vec{n} ja \overrightarrow{AP} on risti, s.t nende skalaar­korrutis on null. Kui aga punkt tasandil ei paikne (punkt P'), siis see nii ei ole.

Joon. 2.62

See tõsi­asi võimaldabki meil leida seose, mida rahuldavad tasandi α kõikide punktide koordinaadid ja ainult need. Et

\overrightarrow{AP}=\left(x-x_1;\ y-y_1;\ z-z_1\right) ja \vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0, siis

a\left(x-x_1\right)+b\left(y-y_1\right)+c\left(z-z_1\right)=0.

Avades siin sulud ja grupeerides liidetavad ümber saame, et

ax+by+cz=ax_1+by_1+cz_1.

Viimase võrduse paremal poolel oleva avaldise väärtuse võime antud andmete põhjal arvutada. Tähistades selle tähega d \left(ax_1+by_1+cz_1=d\right), saamegi tasandi α võrrandi ax+by+cz=d.

Paneme see­juures tähele, et muutujate kordajad tasandi võrrandis on selle tasandi normaal­vektori vastavad koordinaadid.

Näide 1.

Leiame tasandi võrrandi, kui tasand on määratud punktiga A(–2; 1; 3) ja normaaliga \frac{x+5}{5}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{7}.

Olgu P(x; y; z) otsitava tasandi suvaline punkt. Leiame vektori \overrightarrow{AP}=\left(x+2;\ y-1;\ z-3\right) ja see­järel normaali võrrandist normaal­vektori \vec{n}=\left(5;\ -2;\ 7\right). Arvestades tingimust \vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0, saame nüüd, et

5(x + 2) – 2(y – 1) + 7(z – 3) = 0, millest 5x – 2y + 7z = 9.

Vastus. Tasandi võrrand on 5x – 2y + 7z = 9.

Näide 2.

Tasandi 3x – 4y + 2z = 0 normaal läbib punkti A(1; 2; –2). Leiame selle normaali võrrandid.

Otsitava sirge sihi­vektoriks võime valida antud tasandi normaal­vektori. Et \vec{n}=\left(3;\ -4;\ 2\right), siis punkti A(1; 2; –2) läbiva vektori \vec{n} sihilise sirge võrrandid on

\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+2}{2}.

Vastus. Normaali võrrandid on \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+2}{2}.

Tasand võib olla määratud ka punkti ja kahe mitte­kollineaarse vektoriga. Neid kahte vektorit nimetatakse siis tasandi rihi­vektoriteks. Tasandi võrrandi koostamisel saame sel juhul kasutada kolme vektori komplanaarsuse tunnust.

Näide 3.

Olgu tasand α määratud punktiga A(–1; 3; 5) ning rihi­vektoritega \vec{a}=\left(3;\ 1;\ 0\right) ja \vec{b}=\left(-2;\ 1;\ 1\right) (joon. 2.63). Leiame selliselt määratud tasandi võrrandi.

Joon 2.63

Jooniselt näeme, et punkt P(x; y; z) asub tasandil α siis ja ainult siis, kui vektorid \overrightarrow{AP}, \vec{a} ja \vec{b} on komplanaarsed. Punkti P' korral see näiteks nii ei ole.

Seega x+1y-3z-5310-211=0, millest pärast arvutusi saame tasandi α võrrandi kujul x – 3y + 5z = 15.

Vastus. Tasandi α võrrand on x – 3y + 5z = 15.

Näide 4.

Leiame tasandi võrrandi, kui tasandil on antud kaks paralleelset sirget

s:x=-3+ty=2+2tz=-5-3t ja t:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-1}{-6}.

Olgu tasandi suvaline punkt P(x; y; z). Antud sirgetel asetsevad aga vastavalt punktid A(–3; 2; –5) ja B(0; –1; 1). Sirgete ühiseks sihi­vektoriks valime sirge s sihi­vektori \vec{s}=\left(1;\ 2;\ -3\right). Kolmeks komplanaarseks vektoriks, mille abil leiame tasandi võrrandi, on antud juhul vektorid \overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AB} ja \vec{s}. Seega otsitav võrrand on

x+3y-2z+53-3612-3=0 ehk x – 5y – 3z = 2.

Vastus. Tasandi võrrand on x – 5y – 3z = 2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 601. Tasandi võrrand

Leidke tasandi võrrand, kui tasand on antud normaal­vektoriga \vec{n} ja punktiga A.

\vec{n}=\left(1;\ 9;\ -2\right)ja A(0; 5; –2)

Vastus. 

Leidke tasandi võrrand, kui tasand on antud normaal­vektoriga \vec{n} ja punktiga A.

\vec{n}=\left(2;\ 0;\ -3\right)ja A(1; –2; 1)

Vastus. 

Leidke tasandi võrrand, kui tasand on antud normaal­vektoriga \vec{n} ja punktiga A.

\vec{n}=\left(0;\ -2;\ 5\right)ja A(0; 0; 0)

Vastus. 

Leidke tasandi võrrand, kui tasand on antud normaal­vektoriga \vec{n} ja punktiga A.

\vec{n}=\left(0;\ 0;\ -3\right)ja A(–3; 4; –1)

Vastus. 

Ülesanne 602. Kas punkt asub tasandil?

\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-2}.

Selgitage, kas punkt A asub sellel tasandil.

A(2; 7; 1)

  • Asub
  • Ei asu

A(0; –1; 7)

  • Asub
  • Ei asu

A(3; –1; 10)

  • Asub
  • Ei asu

A(4; 6; –2)

  • Asub
  • Ei asu
Ülesanne 603. Tasandil asuvad punktid

2x-y-4z=5

3x-y+2z=0

Ülesanne 604. Tasandi võrrand

Leidke koordinaatide algus­punkti läbiva tasandi võrrand, kui tasandi normaal­vektor on \vec{n}.

\vec{n}=\left(-2;\ 1;\ 5\right)

Vastus. 

Leidke koordinaatide algus­punkti läbiva tasandi võrrand, kui tasandi normaal­vektor on \vec{n}.

\vec{n}=(0;\ 3;\ -5)

Vastus. 

Leidke koordinaatide algus­punkti läbiva tasandi võrrand, kui tasandi normaal­vektor on \vec{n}.

\vec{n}=(-1;\ -3;\ -6)

Vastus. 

Ülesanne 605. Tasandi võrrand

Ülesanne 606. Tasandi võrrand
  1. x-teljega.
    Vastus. 
  2. y-teljega.
    Vastus. 
  3. z-teljega.
    Vastus. 
Ülesanne 607. Tasandi võrrand

Ülesanne 608. Tasandi võrrand

Vastus. xy-tasandi võrrand on , xz-tasandi võrrand on  ja yz-tasandi võrrand on .

Ülesanne 609. Tasandi normaal ja koordinaat­telg

Ülesanne 610. Tasandi võrrand
  1. x-teljega?
    Vastus. Siis puudub tasandi võrrandis muutuja .
  2. y-teljega?
    Vastus. Siis puudub tasandi võrrandis muutuja .
  3. z-teljega?
    Vastus. Siis puudub tasandi võrrandis muutuja .
Ülesanne 611. Tasandi võrrand

Ülesanne 612. Tasandi ja koordinaat­telgede lõike­punktid

2x-3y+4z=12

Vastus. Lõike­punkt x-teljega on , y-teljega  ja z-teljega .

5x-3y+5z=15

Vastus. Lõike­punkt x-teljega on , y-teljega  ja z-teljega .

-x+2y-3z=6

Vastus. Lõike­punkt x-teljega on , y-teljega  ja z-teljega .

-3y+4z=12

Vastus. Lõike­punkt x-teljega: , y-teljega: ja z-teljega: .

5x-3y=15

Vastus. Lõike­punkt x-teljega: , y-teljega: ja z-teljega: .

2y=6

Vastus. Lõike­punkt x-teljega: , y-teljega: ja z-teljega: .

Ülesanne 613. Tasandi võrrand

punktid A\left(0;\ 0;\ 1\right), B\left(2;\ 0;\ 3\right), C\left(0;\ 5;\ 0\right).

Vastus. 

punktid A\left(-1;\ 2;\ 5\right), B\left(-2;\ -3;\ 1\right), C\left(3;\ -1;\ 7\right).

Vastus. 

sirge s:\ \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{5}=z-1 ja punkt A\left(0;\ -1;\ -2\right).

Vastus. 

sirge s:\ \frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{1}{3}z ja punkt A\left(-2;\ 1;\ -3\right).

Vastus. 

sirged s:x=2+4ty=tz=3 ja t:\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{1}.

Vastus. 

sirged s:\frac{x-2}{2}=\frac{y-5}{5}=\frac{z-1}{12} ja t:x=2+ty=5+4tz=1+9t.

Vastus. 

sirged s:x=3+2ty=-5-tz=1+2t ja t:\frac{x+5}{4}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{4}.

Vastus. 

sirged s:\frac{x}{4}=\frac{y-1}{-8}=\frac{z+3}{12} ja t:x=5-ty=-2+2tz=1-3t.

Vastus. 

Ülesanne 614. Tasandi võrrand
Joon. 2.64

Vastus. Nende tasandite võrrandid on , ,  ja .

Ülesanne 615. Sirge võrrand

Vastus. 

Ülesanne 616. Vektorite rist­seis

Leidke ühik­vektor, mis on risti vektoritega \vec{u}=\left(1;\ -3;\ -1\right) ja \vec{v}=\left(2;\ 3;\ -1\right).

Vastus. Antud vektoritega on risti ühik­vektor koordinaatidega  .

Seotud sisu
Muud tegevused