Pöördkeha ruumala

Järgnevas uurime, kuidas leida pöörd­keha ruumala integraali abil.

Olgu kujundi pöörlemis­teljeks x-telg ja pöörlevaks kujundiks kõver­trapets, mille alused on kohtadel x = a ja x = b ning üheks haaraks on funktsiooni y = f(x) (kus f(x) ≥ 0) graafik (joon. 3.28). Teame, et keha ruumala saame leida valemiga V=\int_0^hS\left(x\right)dx, kus h on keha kõrgus ja S(x) kohal x tehtud rist­lõike pindala. Pöörd­keha rist­lõige mis tahes kohal on ring.

Joon. 3.28

Vaadeldava pöörd­keha rist­lõikeks oleva ringi raadius on r = f(x) (joon. 3.28) ja S\left(x\right)=\pi r^2=\pi\left[f\left(x\right)\right]^2. Et keha asub tasandite x = a ja x = b vahel, siis avaldub pöörd­keha ruumala järgmiselt:

V=π∫ab[fx]2dx.

Saadud valem võimaldab leida kõver­trapetsi pöörlemisel tekkiva pöörd­keha ruumala. Samal ajal võib seda keha vaadelda ka kui keha, mida piiravad joone y = f(x) pöörlemisel ümber x-telje tekkinud pind ning tasandid x = a ja x = b.

Näide 1.

Leiame joonisel 3.29 kujutatud pöörd­keha ruumala.

Antud juhul f\left(x\right)=\sqrt{x} ja integraali rajad on a = 0 ja b = 4.

V = \pi\int_0^4\left(\sqrt{x}\right)^2dx = \pi\int_0^4xdx = πx22 0 4 = 8\pi.

Joon. 3.29

Vastus. Pöörd­keha ruumala on 8π ruumala­ühikut.

Näide 2.

Tuletame valemi koonuse ruumala arvutamiseks, kui koonuse kõrgus on h ja raadius r.

Paigutame koonuse koordinaat­teljestikku joonisel 3.30 näidatud viisil ja leiame võrrandi sirgele, mille pöörlemisel ümber x-telje moodustub koonuse külg­pind. Koordinaatide algus­punkti läbiva sirge võrrand on y = ax. Otsitava sirge tõus a=\tan\mathrm{\alpha}=\frac{r}{h}. Järelikult on koonust moodustava sirge võrrand y=\frac{r}{h}x.

Joon. 3.30

Koonuse ruumala

V = \pi\int_0^h\left[\frac{r}{h}x\right]^2dx = πr2h2·x33 0 h = \frac{\pi r^2h^3}{3h^2} = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac{1}{3}S_ph.

Saadud valem on tuttav juba põhi­koolist.

Näide 3.

Ümber x-telje pöörleb kujund, mida piiravad jooned y = f(x), y = g(x), x = a ja x = b (joon. 3.31). Leidke tekkiva pöörd­keha ruumala.

Tekkinud pöörd­keha ruumala võime vaadelda kahe pöörd­keha ruumala vahena:

V=\pi\int_a^b\left[f\left(x\right)\right]^2dx-\pi\int_a^b\left[g\left(x\right)\right]^2dx.

Määratud integraali omaduse põhjal võib otsitava ruumala avaldada kujul

V=\pi\int_a^b\left(\left[f\left(x\right)\right]^2-\left[g\left(x\right)\right]^2\right)dx.

Joon. 3.31

Vastus. V=\pi\int_a^b\left(\left[f\left(x\right)\right]^2-\left[g\left(x\right)\right]^2\right)dx.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 738. Pöörd­kehad

Ülesanne 739. Pöördkeha ruumala
Joon. 3.32 1)

Vastus. V = 

Joon. 3.32 2)

Vastus. V = 

Joon. 3.32 3)

Vastus. V = 

Ülesanne 740. Pöördkeha ruumala

Vastus. V = 

Ülesanne 741. Silindri ruumala

Ülesanne 742. Pöördkeha ruumala

y=x+2, x=0, x=2

Vastus. V = 

y=3x, x=2, x=4

Vastus. V = 

y=x^3, x=-2, x=0

Vastus. V = 

y=x^2+1, x=0, x=1

Vastus. V = 

y=\frac{1}{x}, x=1, x=4

Vastus. V = 

y=1+\sqrt{x}, x=0, x=2

Vastus. V = 

y=3e^{\frac{x}{2}}, x=0, x=2

Vastus. V = 

y=x^2+2x, x=-1, x=2

Vastus. V = 

Ülesanne 743. Pöördkeha ruumala

Vastus. V = 

Ülesanne 744. Pöördkeha ruumala

y=x^3, x=-1, x=2, y=0

Vastus. V = 

y=0,5x, y=\sqrt{x}

Vastus. V = 

y=3x, y=3, y=12, x=0

Vastus. V = 

y=\frac{4}{x}, y=1, x=1

Vastus. V = 

y=x^2, y=\sqrt{x}

Vastus. V = 

y=\sin x, y=\cos x, x\in\left[0;\ \frac{\pi}{4}\right]

Vastus. V = 

y=2-0,5x^2, y=-x+2

Vastus. V = 

y=3x^2-x^3, y=x^2

Vastus. V = 

Seotud sisu
Muud tegevused