Koonus

Koonuseks nimetatakse pöörd­keha, mis tekib täis­nurkse kolm­nurga pöörlemisel ümber ühe oma kaateti.

Joon. 3.37

Pöörlev hüpotenuus on koonuse moodustaja, kus­juures see hüpotenuus kujundab pöörlemisel koonuse külg­pinna. Pöörlev kaatet kujundab aga koonuse põhja, milleks on ring (joon. 3.37).

Koonuse külg­pindalaks nimetatakse koonuse sisse kujundatud korra­päraste püramiidide külg­pindalade jada Sn piir­väärtust, kui püramiidi põhja tippude arv n tõkestamatult kasvab.

Joon. 3.38

Olgu koonuse sisse kujundatud n-nurkne korra­pärane püramiid (joon. 3.38). Selle püramiidi külg­pindala S_n=\frac{1}{2}nam_n, kus a on püramiidi põhi­serv ja mn püramiidi apoteem. Definitsiooni kohaselt koonuse külg­pindala

S_k = limn→∞Sn = limn→∞12namn = 12limn→∞na·limn→∞mn = \frac{1}{2}\cdot2\pi r\cdot m = \pi rm,

sest püramiidi tippude arvu tõkestamatul kasvamisel püramiidi põhja ümber­mõõt na läheneb koonuse põhja ümber­mõõdule 2πr ja püramiidi apoteem mn läheneb koonuse moodustajale m.

Seega valemid koonuse külg­pindala Sk, täis­pindala St ja ruumala V arvutamiseks on

Sk=πrm,   St=πr(r+m),   V=13Sph=13πr2h.

Näide.

Täis­nurkne kolm­nurk kaatetitega a ja b pöörleb ümber hüpotenuusi. Leiame tekkiva pöörd­keha täis­pindala ja ruumala.

Kolm­nurga pöörlemisel ümber hüpotenuusi tekib pöörd­keha, mis koosneb kahest ühise põhjaga koonusest (joon. 3.39). Kolm­nurga hüpotenuus c=\sqrt{a^2+b^2}. Koonuste põhja raadiuse r leiame seosest \frac{ab}{2}=\frac{cr}{2}, millest r=\frac{ab}{c}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Pöörd­keha täis­pindala on võrdne kahe koonuse külg­pindalade summaga, seega

S_t = \pi ra+\pi rb = \pi r\left(a+b\right) = \frac{\pi ab\left(a+b\right)}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Pöörd­keha ruumala

V = \frac{1}{3}\pi r^2h_1+\frac{1}{3}\pi r^2h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2\left(h_1+h_2\right) = \frac{1}{3}\pi r^2c = \frac{\pi a^2b^2\sqrt{a^2+b^2}}{3\left(a^2+b^2\right)}.

Joon. 3.39

Vastus. S=S_t=\frac{\pi ab\left(a+b\right)}{\sqrt{a^2+b^2}}, V=\frac{\pi a^2b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 766. Koonuse täis­pindala

Ülesanne 767. Koonuse täis­pindala

Vastus. St =  cm2

Ülesanne 768. Koonuste külg­pindalade suhe ja ruumalade suhe

Vastus. Tekkivate koonuste külg­pindalade suhe on  ja ruumalade suhe on .

Ülesanne 769. Koonuse moodustaja kalde­nurk

Vastus. Koonuse moodustaja kalde­nurk põhja suhtes on °.

Ülesanne 770. Koonuse lõikamine põhjaga paralleelse tasandiga

Vastus. Lõike pindala on .

Ülesanne 771. Koonuse lõikamine põhjaga paralleelse tasandiga

Vastus. Lõige tuleb sel juhul teha tipust  kaugusel.

Ülesanne 772. Koonuse täis­pindala

Vastus. St = 

Ülesanne 773. Koonuse külg­pindala ja ruumala

Vastus. Sk =  m2; V =  m3.

Ülesanne 774. Koonuse ruumala

Vastus. V = 

Ülesanne 775. Heina­kuhi

Leidke heina­kuhja mass, kui heina tihedus on \mathrm{0,03\ \frac{g}{\mathrm{cm^3}}}.

Vastus. Heina­kuhja mass on  tonni.

Ülesanne 776. Vedeliku valamine

Vastus. Selles nõus tõuseb vedelik  m kõrgusele.

Ülesanne 777. Pöörd­keha ruumala

Vastus. V = 

Ülesanne 778. Pöörd­keha pindala ja ruumala

Vastus. S =  cm2; V =  cm3

Ülesanne 779. Pöörd­keha pindala ja ruumala

Vastus. St =  dm2; V =  dm3

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 780. Koonuse ruumala

Ülesanne 781. Koonusesse kujundatud prisma

Vastus. Prisma külg­serv on  dm.

Ülesanne 782. Koonusesse kujundatud kuup

Vastus. Koonusesse kujundatud kuubi serv on .

Ülesanne 783. Pöörd­keha pindala ja ruumala

Avaldage pöörd­keha pindala ja ruumala, kui rööp­küliku küljed on a ja b (a > b) ja pikemale küljele joonestatud kõrgus on h.

Vastus. Kui rööp­külik pöörleb ümber pikema külje, siis S = , V = . Kui rööp­külik pöörleb ümber lühema külje, siis S = , V = .

Ülesanne 784. Koonusesse kujundatud silinder

Vastus. Koonuse täis­pindala on  cm2 ja silindri täis­pindala  cm2.

Mitu korda on selle silindri ruumala suurem sama silindri peale jäävasse koonuse osasse kujundatud maksimaalse ruumalaga silindri ruumalast (mõlema silindri teljed ühtivad koonuse teljega)?

Vastus.  korda

Ülesanne 785. Koonusesse kujundatud silinder

Vastus. V =  cm3

Mitu korda on selle silindri täis­pindala suurem sellise maksimaalse ruumalaga silindri täis­pindalast, mis on kujundatud samasse koonusesse ja toetub põhjaga eelmise silindri ülemisele põhjale ning mille telg­lõige on samuti ruut (mõlema silindri teljed ühtivad koonuse teljega)?

Vastus.  korda

Seotud sisu
Muud tegevused