Trigonomeetria ja tasandi­geomeetria

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 958. Lihtsustamine

\left(\cos^212°-1\right)\ :\cos^212°+1\ :\tan^278° = 

\frac{\sin35\degree\cos55\degree}{\cos35\degree\sin55\degree\tan35\degree\tan55\degree} = 

\sin^270°+\tan20°\ :\tan70°+\sin^220° = 

\frac{1-\sin10\degree}{\sin80\degree}-\frac{\cos10\degree}{1+\sin10\degree}-\frac{1}{\cos^280\degree}+1 = 

Ülesanne 959. Lihtsustamine

\tan\mathrm{\alpha}+\cos2\mathrm{\alpha}\tan\mathrm{\alpha} = 

\cos2\mathrm{\alpha}+\sin2\mathrm{\alpha}\tan\mathrm{\alpha} = 

\cos89°\cos44°+2\sin89°\cos46°+\cos89°\sin46° = 

Ülesanne 960. Võrdlemine

\sin\frac{3\pi}{5}  \sin\frac{7\pi}{6}

\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)  \sin\frac{\pi}{6}

\sin\frac{\pi}{10}  \cos\frac{\pi}{18}

\tan\frac{\pi}{30}  \cos\frac{29\pi}{30}

Ülesanne 961. Võrrandi lahendamine

\tan^2x-13\tan x+12=0

x1 = ; x2 = 

\cos^2x-2\sin x+2=0

x = 

\cos2x+\sin^2x=0,5

x1 = ; x2 = 

\tan x\sin x+\cos x-\tan x=0

x = 

\sin^22x-3\sin^2x=0

x1 = ; x2 = 

\tan x+\frac{1}{\cos^2x}=7

x1 = ; x2 = 

Ülesanne 962. Täis­nurkse kolm­nurga lahendamine

a=3; b=1,25

Vastus. c = ; α ≈ ; β ≈ 

a=1,6; c=1,78

Vastus. b = ; α ≈ ; β ≈ 

a=6,5; \mathrm{\alpha}=65\degree

Vastus. β = ; b ≈ ; c ≈ 

c=16; \mathrm{\alpha}=8\degree48'

Vastus. β = ; a ≈ ; b ≈ 

b=5; c=4,8

Vastus. a = ; α = ; β = 

a=4; S=10

Vastus. b = ; c = ; α ≈ ; β ≈ 

Ülesanne 963. Kolm­nurga lahendamine

a=12; \mathrm{\alpha}=60\degree; \mathrm{\beta}=40\degree

Vastus. γ = ; b ≈ ; c ≈ 

b=40; c=60; \mathrm{\gamma}=82\degree30'

Vastus. a = ; α ≈ ; β ≈ 

a=11; b=60; c=61

Vastus. α ≈ ; β ≈ ; γ = 

a=30; b=28; c=40

Vastus. α ≈ ; β ≈ ; γ ≈ 

b=6,3; c=10,5; \mathrm{\alpha}=30\degree

Vastus. β ≈ ; γ ≈ ; a ≈ 

a=10; \mathrm{\beta}=91\degree; \mathrm{\gamma}=103\degree

Vastus. α = ; b = ; c = 

Ülesanne 964. Sektori pindala ja kaare pikkus

r=10; \mathrm{\alpha}=33°

Vastus. l = ; S = 

\mathrm{\alpha}=280°; l=44

Vastus. r = ; S = 

\mathrm{\alpha}=\frac{\pi}{8}; S=16\pi

Vastus. r = ; l = 

l=10; S=12

Vastus. r = ; α = 

l=20; r=6

Vastus. S = ; α = 

r=8; S=80

Vastus. α = ; l = 

Ülesanne 965. Täis­nurkne kolm­nurk

Vastus. Täis­nurga tipust joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi lõikudeks  cm ja  cm.

Ülesanne 966. Kõõlud

Vastus. r =  cm

Ülesanne 967. Terav­nurk kõõlu ja diameetri vahel

Vastus. Terav­nurk kõõlu ja diameetri vahel on °.

Ülesanne 968. Kõõl

Vastus. Punkt M jaotab kõõlu AB suhtes .

Ülesanne 969. Ring ja ruut

Vastus. Ringi pindala on  cm2.

Ülesanne 970. Segmentide kogu­pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 971. Trapets

Vastus. Trapetsi alused on  cm ja  cm.

Ülesanne 972. Trapets

Vastus. d =  mm

Ülesanne 973. Maa tehis­kaaslased

Vastus. Esimene tehis­kaaslane on Maast  km kaugemal kui teine.

Ülesanne 974. Kuuskede kasv
  1. Kui palju on vaadeldavatel aastatel kokku suurenenud selle kuuse diameeter (täpsus 1 mm)?
    Vastus. Kuuse diameeter on selle ajaga suurenenud  mm.
  2. Mitu protsenti on selle ajaga kasvanud kuuse rist­lõike pindala (täpsus kümnendikeni)?
    Vastus. Kuuse rist­lõike pindala on selle ajaga kasvanud %.
Ülesanne 975. Kits
Joon. 4.7

Vastus. Kits saab süüa  m2 suuruselt alalt.

Ülesanne 976. Tele­pildi formaat
  1. Kui suur osa ekraanist jääb äärtest mustaks, kui saadet vaadatakse formaadis 9 : 16 ja soovitakse, et pilt kogu vertikaalses osas oleks nähtav?
    Vastus. Äärtest jääb mustaks % ekraanist.
  2. Kui suur osa pildist jääb ülalt ja alt nägemata, kui pilt on seadistatud selliselt, et see on kogu horisontaalses osas nähtav?
    Vastus. Ülalt ja alt jääb nägemata % pildist.
Ülesanne 977. Erinevad formaadid

Vastus. Trüki­tähe kõrgus väheneb see­juures %.

Ülesanne 978. Orienteeruja

Vastus. Ta on siis kontroll­punktist  m kaugusel.

Ülesanne 979. Kald­tee

Vastus. See kald­tee peab olema  m pikkune.

Ülesanne 980. Tunnel

Vastus. Tunneli pikkus on  m.

Ülesanne 981. Mobiili­mastid

Vastus. Nende mobiili­mastide vaheline kaugus on  km.

Ülesanne 982. Randa minek
Joon. 4.8
  1. Mitme protsendi võrra on Jüri tee­kond Mari omast lühem?
    Vastus. Jüri tee­kond on % lühem Mari omast.
  1. Kui kiiresti peaks Jüri liikuma, et jõuda randa Mariga täpselt samal ajal?
    Vastus. Et jõuda randa Mariga täpselt samal ajal, peaks Jüri liikuma kiirusega  km/h.
  2. Kui suure kiirusega peaks Jüri liikuma, et jõuda randa 6 minutit enne Mari saabumist?
    Vastus. Et jõuda randa 6 minutit enne Mari saabumist, peaks Jüri liikuma kiirusega  km/h.
Ülesanne 983. Pisa torn

Vastus. Pisa torni kõrgus on  m.

Ülesanne 984. Sild
Joon. 4.9

Vastus. Silla pikkus on  m.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 985. Lihtsustamine

2-\sin^2\left(180°-\mathrm{\alpha}\right)-\cos^2\mathrm{\alpha} = 

\cos\mathrm{\alpha}\tan\left(180°+\mathrm{\alpha}\right)\ :\sin\mathrm{\alpha} = 

1\ :\cos\left(180°-\mathrm{\alpha}\right)-\tan\left(180°-\mathrm{\alpha}\right)+\tan\left(360°-\mathrm{\alpha}\right)-\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\tan\left(-\mathrm{\alpha}\right)} = 

\frac{\sin\left(\pi+\mathrm{\alpha}\right)}{\cos\left(2\pi-\mathrm{\alpha}\right)-\cos\mathrm{\alpha}\tan^2\left(-\mathrm{\alpha}\right)}\cdot\frac{\sin\left(2\pi-\mathrm{\alpha}\right)-\sin\left(-\mathrm{\alpha}\right)\tan^2\mathrm{\alpha}}{\cos\left(\pi+\mathrm{\alpha}\right)} = 

\left[\sin\left(4\pi+\mathrm{\alpha}\right)+1\ :\sin\left(\pi+\mathrm{\alpha}\right)\right]\cdot\left[\cos\left(2\pi-\mathrm{\alpha}\right)-1\ :\cos\left(-\mathrm{\alpha}\right)\right] = 

Ülesanne 986. Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused

\cos x=0,72 ja 270°<x<360°

Vastus. sin x ≈ ; tan x ≈ 

\tan x=-2,5 ja 180°<x<270°

Vastus. sin x ≈ ; cos x ≈ 

\sin x=0,8 ja 90°<x<180°

Vastus. cos x ≈ ; tan x ≈ 

\tan x=3\frac{3}{7}

Vastus. cos x ≈ ; sin x ≈  või cos x ≈ ; sin x ≈ 

Ülesanne 987. Tõestamine

\frac{\tan x+\tan y}{\tan\left(x+y\right)}+\frac{\tan x-\tan y}{\tan\left(x-y\right)}=2

\cos\left(x+y\right)\cos\left(x-y\right)=\cos^2x-\sin^2y

\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1

\frac{\sin2x+2\sin x\cos2x}{1+\cos x+\cos2x+\cos3x}=\tan x

Ülesanne 988. Lihtsustamine

\cos\left(45°+\mathrm{\alpha}\right)\cos\left(15°-\mathrm{\alpha}\right)-\cos\left(45°-\mathrm{\alpha}\right)\sin\left(15°-\mathrm{\alpha}\right) = 

\sin x\tan x+\tan x\sin3x+\cos3x = 

\sin^2y+\sin\left(x+y\right)\sin\left(x-y\right) = 

\tan\left(45°+x\right)-\tan x\tan\left(45°+x\right)-\tan x = 

\frac{2\sin4x\sin2x+\cos6x}{\cos x-\sin x}-2\cos^2\frac{x}{2} = 

\frac{\sin x+\sin2x+\sin3x}{\cos x+\cos2x+\cos3x} = 

Ülesanne 989. Võrrandi lahendamine

2\cos^3\left(x-\frac{\pi}{5}\right)=3\cos^2\left(x-\frac{\pi}{5}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{5}\right)

Vastus. x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = 

\sin x+\sin3x=0

Vastus. x1 = ; x2 = 

\sin2x+0,5\sin4x+2\sin2x\sin^2x=0,9696

Vastus. x = 

\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=0,33

Vastus. x = 

Ülesanne 990. Võrratuse lahendamine

\sin x>0

Vastus. x ∈ 

\sin x>0,5

Vastus. x ∈ 

\cos x\le1

Vastus. x ∈ 

\cos x<0,5\sqrt{2}

Vastus. x ∈ 

\tan x<0

Vastus. x ∈ 

\tan x>1

Vastus. x ∈ 

Ülesanne 991. Kolm­nurga lahendamine

a=15; b=14,75; \mathrm{\beta}=66°

Vastus. α ≈ ; γ ≈ ; c ≈ 

b=55; c=53; \mathrm{\gamma}=23°35′

Vastus. β ≈ ; α ≈ ; a ≈ 

Ülesanne 992. Neli­nurga külgede pikendamine
Joon. 4.10
  1. Mis­suguse neli­nurga määravad pikendus­lõikude ots­punktid A, B, C ja D? Miks?
    Vastus. See nelinurk on .
  1. Mitu korda erineb neli­nurga ABCD pindala lähte­ruudu pindalast? Põhjendage.
    Vastus. Neli­nurga ABCD pindala erineb lähte­ruudu pindalast  korda.

Valige nüüd lähte­neli­nurgaks rist­külik ja pikendage ka selle külgi analoogselt ülal­tehtuga. Pikendage see­juures iga külge pikendatava külje pikkuse võrra.

  1. Mis­suguse neli­nurga määravad pikendus­lõikude rist­külikuga mitte­ühtivad ots­punktid? Miks?
    Vastus. See nelinurk on .
  2. Milline on saadud neli­nurga ja esi­algse rist­küliku pindalade suhe? Põhjendage.
    Vastus. Saadud neli­nurga ja esi­algse rist­küliku pindalade suhe on .
  3. Millise kujundi määravad pikendus­lõikude teised ots­punktid siis, kui lähte­kujundiks valida rööp­külik? Miks?
    Vastus. See nelinurk on .
  4. Kuidas on seotud lähte­kujundiks oleva rööp­küliku kõrgus ja sellega paralleelsed joonisel tekkinud kolm­nurkade kõrgused? Miks?
    Vastus. 
  5. Kuidas suhtuvad saadud neli­nurga ja esi­algse rööp­küliku pindala? Põhjendage.
    Vastus. Saadud neli­nurga ja esi­algse rööp­küliku pindalade suhe on .

Valige nüüd lähte­kujundiks trapets ja korrake ülal­kirjeldatud konstruktsiooni.

  1. Kas ka nüüd saate tulemuseks rööp­küliku? Kuidas suhtuvad saadud neli­nurga ja trapetsi pindala? Põhjendage.
    Vastus. See neli­nurk  rööp­külik. Saadud neli­nurga ja trapetsi pindala suhe on .
  2. Kas ülal­saadud pindalade suhe jääb samaks ka siis, kui lähte­kujundiks valida suvaline kumer neli­nurk? Põhjendage.
  3. Milline on lõpp- ja lähte­kujundi pindalade suhe siis, kui lähte­kujundiks valida suvaline kolm­nurk? Põhjendage.
    Vastus. Lõpp- ja lähte­kujundi pindalade suhe on siis .
Ülesanne 993. Kolm­nurga ümber- ja sise­ring­joon

Vastus. Kolm­nurga ümber- ja sise­ring­joone kesk­punktide vaheline kaugus on  cm.

Ülesanne 994. Kolm­nurk

Vastus. Suhtes  (tipust B alates)

Ülesanne 995. Kolm­nurk

Vastus. Nende pindalade suhe on .

Ülesanne 996. Võrd­haarne kolm­nurk

Vastus. Haara ja aluse pikkuste suhe on .

Ülesanne 997. Võrd­haarne trapets

Vastus. S =  dm2

Ülesanne 998. Ring ja võrd­külgne kolm­nurk
Joon. 4.11

Vastus. Kolm­nurga külje pikkus on  m.

Ülesanne 999. Võrd­haarne trapets

Vastus. Diagonaal jaotab trapetsi pindala suhtes .

Ülesanne 1000. Romb

Vastus. Rombi nurgad on  ja .

Ülesanne 1001. Romb

Vastus. S = 

Ülesanne 1002. Romb

Vastus. S =  cm2

Ülesanne 1003. Romb

Vastus. Rombi nurgad on  ja .

Ülesanne 1004. Kolm­nurga nurga­poolitaja, mediaan ja kõrgus

Vastus. Kolm­nurga nurga α poolitaja on  cm, küljele a tõmmatud mediaan on  cm ja kõrgus  cm.

Ülesanne 1005. Kolm­nurga sise­ring­joon

Vastus. r =  cm

Ülesanne 1006. Tõestamine

Kasutades joonist 4.12, tõestage, et \frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}}=\frac{c}{\sin\mathrm{\gamma}}=2R.

Joon. 4.12

Ülesanne 1007. Kolm­nurga ümber­ring­joon

Vastus. R =  cm

Ülesanne 1008. Peeglid

Vastus. Esimesele peeglile langenud ja teiselt peeglilt peegeldunud kiire vaheline terav­nurk on °.

Ülesanne 1009. Kaks võlli
Joon. 4.13

Vastus. Rihma pikkus on  cm.

Ülesanne 1010. Taburet
Joon. 4.14

Vastus. Tabureti jalgade ühendus­puu ülemise serva pikkus on  mm ja alumise serva pikkus on  mm.

Ülesanne 1011. Raadio­saatjad

Vastus. 

Ülesanne 1012. Kolm raadio­saatja masti

Kolme raadio­saatja mastid paiknevad punktides A, B ja C (joon. 4.15). Mastist A paistavad mastid B ja C 60° nurga all. Mastide A ja C kaugus on 30 km, mastide A ja B kaugus aga 40 km. Mastis A olev raadio­saatja tagab vastu­võtja kvaliteetse kuuldavuse ringis raadiusega 15\sqrt{3}\ \mathrm{km,} mastis C olev saatja aga ringis raadiusega 15 km. Kui suure raadiusega ringis peaks tagama kvaliteetse kuuldavuse mastis B olev raadio­saatja, kui soovitakse, et kõigist kolmest saatjast lähtuv signaal oleks kvaliteetselt kuuldav vaid ühes punktis?

Joon. 4.15

Vastus. Mastis B olev raadio­saatja peaks tagama kvaliteetse kuuldavise ringis raadiusega  km.

Ülesanne 1013. Saarte­vaheline kaugus
Joon. 4.16

Vastus. Saarte­vaheline kaugus on  m.

Ülesanne 1014. Saarele ehitamine

Vastus. Sellisele saarele  ehitada, sest 

Seotud sisu
Muud tegevused