Funktsiooni tuletis ja integraal

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 1083. Funktsiooni tuletis

y=2x^3-3x^2+6x-13
y' = 

y=\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+2,5x^2-7x-1
y' = 

y=\left(5x^{-2}+3x^2\right)^2
y' = 

y=x^2+2x^{-4}-0,8x^{-5}-x^{-1}
y' = 

y=\left(x^{-3}-x\right)\left(12x^{-1}+x^3\right)
y' = 

y=x^{2,1}+\sqrt{x}-6\sqrt[5]{x^2}
y' = 

y=\frac{2-3x}{x-1}
y' = 

y=3\sqrt[4]{x^3}-\frac{2}{x^2}
y' = 

Ülesanne 1084. Funktsiooni tuletis

y=x^2\ln x
y' = 

y=x^{-1}\ln x
y' = 

y=4\ln x^{0,5}
y' = 

y=\frac{1+\ln x}{1-\ln x}
y' = 

y=\frac{1+\ln x}{1-x}
y' = 

y=\frac{x^2}{\ln x}
y' = 

y=e^{5+x}+e^5e^x
y' = 

y=xe^x-x^2e^x
y' = 

y=e^{x+1}
y' = 

y=\frac{e^x-5}{e^x}
y' = 

y=\frac{x-e^x}{x}
y' = 

y=-\frac{1}{e^x}
y' = 

Ülesanne 1085. Funktsiooni tuletis kohal x0

y=\frac{2x-1}{x+3} ja x_0=-1
y' = 
y' (x0) = 

y=\frac{3-2x-x^2}{x} ja x_0=-1,5
y' = 
y' (x0) = 

y=x\sqrt{x} ja x_0=4
y' = 
y' (x0) = 

y=e^x\ln x ja x_0=1
y' = 
y' (x0) = 

y=\frac{1-e^x}{x} ja x_0=0,25
y' = 
y' (x0) = 

y=\frac{x}{1+\ln x} ja x_0=e^2
y' = 
y' (x0) = 

Ülesanne 1086. Funktsiooni tuletise null­kohad

Vastus. Funktsiooni tuletise null­kohad on  ja .

Ülesanne 1087. Parameetri väärtus

Vastus. a = 

Ülesanne 1088. Parameetri väärtus

Vastus. a = 

Ülesanne 1089. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikud ning graafiku ekstreemum­punktid

y=\frac{2x+1}{1-3x}

Vastus. X_e = ; X\uparrow_1 = ; X\uparrow_2 = ; X\downarrow= 

y=7-2x+3x^2-x^3

Vastus. X_e = ; X\uparrow = ; X\downarrow_1 = ; X\downarrow_2 = 

Ülesanne 1090. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikud

Vastus. X\uparrow_1 = ; X\uparrow_2 = ; X\downarrow = .
f(–1,666667)  f(–1,666668)

Ülesanne 1091. Parameetri väärtus

Vastus. Funktsioonil on olemas kahanemis­vahemik, kui . X\downarrow = 

Ülesanne 1092. Funktsiooni ekstreemum­kohad

y=x-e^x

Vastus. X_e = 

y=x\ln x

Vastus. X_e = 

Ülesanne 1093. Parameetrite väärtused

Vastus. a = ; b = 

Ülesanne 1094. Võrrandi lahendid

Ülesanne 1095. Puutuja tõus

Vastus. Sellel kohal graafikule joonestatud puutuja tõus on .

Ülesanne 1096. Puutuja

Vastus. Nurga  all.

Ülesanne 1097. Puutuja võrrand

Vastus. y = 

Ülesanne 1098. Puutuja võrrand

Vastus. y =  ja y = 

Ülesanne 1099. Punkti liikumine
  1. liikumise alg­kiirus.
    Vastus. Liikumise alg­kiirus on  \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}.
  2. hetk­kiirus ja kiirendus 3. sekundi lõpul.
    Vastus. 3. sekundi lõpul on hetk­kiirus  \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}} ja kiirendus  \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s^2}}}.
Ülesanne 1100. Keha liikumine

Vastus. Keha peatub  sekundi pärast ja selleks momendiks on keha läbinud  m.

Ülesanne 1101. Kivi üles­lennutamine

Vastus. Kivi alg­kiirus on  \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}. Lennu­trajektoori maksimaalne kaugus maa­pinnast on  m.

Ülesanne 1102. Putukate populatsioon
  1. Kui suur on putukate populatsioon viie, kaheksa ja kümne nädala möödudes?
    Vastus. Viie nädala möödudes on putukate populatsioon  isendit, kaheksa nädala möödudes  isendit ja kümne nädala möödudes  isendit.
  2. Millise kiirusega populatsioon suureneb viiendal, kaheksandal ja kümnendal nädalal?
    Vastus. Viiendal nädalal suureneb populatsioon kiirusega  isendit nädalas, kaheksandal nädalal  isendit nädalas ja kümnendal nädalal  isendit nädalas.
Ülesanne 1103. Tühjenev vee­reservuaar
  1. Reservuaari tühjendamist alustatakse aja­hetkel t = 0. Mitme minuti pärast on reservuaar tühjenenud? Joonistage funktsiooni V graafik.
    Vastus. Reservuaar on tühjenenud  minuti pärast.
  2. Leidke reservuaari tühjenemise kiirust kirjeldav funktsioon ja joonestage selle graafik.
    Vastus. v(t) = 
  3. Millal on reservuaari tühjenemise kiirus suurim?
    Vastus. Reservuaari tühjenemise kiirus on suurim kui t = .
Ülesanne 1104. Ruudu külje pikkus
  1. Arvutage ruudu külje pikkus 8, 200, t sekundi möödudes.
    Vastus. 8 sekundi möödudes on ruudu külje pikkus  cm, 200 sekundi möödudes  cm ja t sekundi möödudes  cm.
  2. Millisel kiirusel kasvab ruudu külje pikkus 8; 200 sekundil?
    Vastus. 8. sekundil kasvab ruudu külje pikkus kiirusel  cm/s ja 200. sekundil  cm/s.
Ülesanne 1105. Radooni mass
  1. Koostage valem funktsioonile, mis kirjeldab radooni massi sõltuvust ajast t öö­päevades.
    Vastus. m(t) = 
  2. Millise kiirusega väheneb radooni mass teisel ja kümnendal päeval?
    Vastus. Radooni mass väheneb teisel päeval kiirusega  μg öö­päevas ja kümnendal päeval kiirusega  μg öö­päevas.
Ülesanne 1106. Keha üles heitmine

Kui keha heidetakse maa­pinna suhtes 45° nurga all alg­kiirusega v, siis avaldub vastava parabooli võrrand kujul y=x-\frac{10}{v^2}x^2. See­juures on heite lähte­punktiks võetud koordinaat­teljestiku null­punkt ja pikkus­ühikuks 1 m.

  1. Millise maksimaalse kõrguse saavutab pesa­pall, mis lüüakse 45° nurga all alg­kiirusega 20 m/s?
    Vastus. Pesa­pall saavutab maksimaalse kõrguse  m.
  2. Millise nurga all tõuseb pesa­pall hetkel, kui see on jõudnud 10 m kaugusele lähte­kohast?
    Vastus. 10 m kaugusel lähte­kohast tõuseb pesa­pall  nurga all.
  3. Millise nurga all läheneb see pall maa­pinnale 32 m kaugusel?
    Vastus. 32 m kaugusel läheneb see pall maa­pinnale  nurga all.
Ülesanne 1107. Maan­tee­kurv

Maan­tee­kurv on parabooli y=\frac{1}{2}x^2 kujuline. Mitu kraadi pöörab tee punktide (0; 0) ja (2; 2) vahel?

Vastus. Nende punktide vahel pöörab tee .

Ülesanne 1108. Auto liikumine

Auto sõidab suure kiirusega parabooli y=-\frac{1}{2}x^2+5 kujulises kurvis vasakult paremale ja kaotab juhitavuse punktis (2; 3). Millises punktis sõidab auto x-teljel tee kõrval olevasse lume­valli?

Vastus. Punktis .

Ülesanne 1109. Golfi­pall

Vastus. Pall langeb auku  nurga all.

Ülesanne 1110. Positiivne arv

Vastus. Selline positiivne arv on .

Ülesanne 1111. Arv

Vastus. See arv on .

Ülesanne 1112. Kommide müük

Vastus. Kommide kilo­hinda tuleks alandada  € võrra ja kommide päevane läbi­müük suureneks sel juhul  € võrra.

Ülesanne 1113. Kampsuni müügi­hind

Vastus. Kampsuni müügi­hind peaks olema  €.

Ülesanne 1114. Trüki­masin

Vastus. Trüki­masin tuleks seada kiirusele  lk/min. Sel juhul trükitakse päevas  lk.

Ülesanne 1115. Kaaneta karp

Vastus. Välja­lõigatavate ruutude külg peab olema  dm.

Ülesanne 1116. Krundi ostmine

Vastus. Firmale ostuks sobib vähemalt  m2 pindalaga krunt.

Ülesanne 1117. Ära­antav pagas

Vastus. Kohvri mõõtmed peaksid olema  cm ×  cm ×  cm.

Ülesanne 1118. Prussi tugevus
Joon. 4.19

Vastus. d =  cm; h =  cm

Ülesanne 1119. Alg­funktsioon

Leidke f\left(x\right), kui f'\left(x\right)=\frac{4x-5}{3} ja f\left(3\right)=2.

Vastus. f\left(x\right) = 

Ülesanne 1120. Alg­funktsioon

Vastus. F(x) = 

Ülesanne 1121. Määratud integraal

\int_0^2\left(0,5x+1\right)dx =  = 

\int_{-3}^0\left(x-1\right)\left(x+2\right)dx =  = 

\int_{-1}^0x\left(x^2-1\right)dx =  = 

\int_{-2}^{-1}\left(x+x^{-1}-x^{-2}\right)dx =  = 

\int_{-1}^0\left(x^2+e^x\right)dx-\int_{-1}^0\left(x^2-2e^x\right)dx =  = 

\int_0^1\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)dx =  = 

Ülesanne 1122. Parameetri väärtus

Leidke parameetri k väärtused nii, et \int_{-1}^1k\left(x^2+1\right)dx=8.

Vastus. k = 

Ülesanne 1123. Kujundi pindala

y=x^2-4x ja x-telg

Vastus. S = 

y=x^2-2x-3 ja x-telg

Vastus. S = 

y=x^2-4x+3 ja x-telg

Vastus. S = 

y=e^x-1, x=-1 ja x-telg

Vastus. S = 

Ülesanne 1124. Taime mass
  1. esimese kolme nädalaga;
    Vastus.  g
  2. aja­vahemikus t ∈ [5; 15]?
    Vastus.  g
Ülesanne 1125. Sirg­jooneliselt liikuv keha

Joonisel 4.20 on kujutatud sirg­jooneliselt liikuva keha kiiruse v\ \left(\mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}\right) graafik.

Joon. 4.20

Kirjeldage liikumist.

Mitu meetrit liigub keha aja­vahemikus t1 = 0 kuni t2 = 8?

Vastus. Keha liigub selles aja­vahemikus  m.

Mitme meetri kaugusel on keha aja­hetkel t3 = 3?

Vastus. Sellel aja­hetkel on keha  m kaugusel.

Ülesanne 1126. Maanduv lennuk

Maanduva lennuki maa­pinnale lähenemise kiirust (mitte lennuki kiirust) esimese 5 minuti jooksul kirjeldab valem v\left(t\right)=3-10^{-6}\left(t-150\right)^3 (t – sekundites, v-\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}).

  1. Millisel aja­hetkel t vajub lennuk kõige kiiremini?
    Vastus. Aja­hetkel t = .
  2. Kui suur on sel hetkel lennuki langemise kiirus maa­pinna suhtes?
    Vastus. Lennuki langemise kiirus maa­pinna suhtes on siis  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
  3. Kui palju kõrgust kaotab lennuk 5 minutiga?
    Vastus. Lennuk kaotab 5 minutiga  m kõrgust.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 1127. Funktsiooni tuletis

y=\sin x\cos x
y' = 

y=\sin^2x
y' = 

y=(x+1)\sin x-x\cos x
y' = 

y=2\tan x\cdot\ln x
y' = 

y=2^x\cdot\left(2x+1\right)^2
y' = 

y=e^{2x+1}\cdot\left(x^2-1\right)
y' = 

Ülesanne 1128. Funktsiooni tuletis kohal x0

y=x\sin x ja x_0=\frac{\pi}{2}
y' = 
y' (x0) = 

y=\tan x\cos x-\sin x ja x_0=\frac{\pi}{3}
y' = 
y' (x0) = 

y=\cos2x ja x_0=-\frac{\pi}{3}
y' = 
y' (x0) = 

y=\frac{\sin2x}{\tan x} ja x_0=-\frac{\pi}{4}
y' = 
y' (x0) = 

y=\sqrt{1+x^2} ja x_0=0,5
y' = 
y' (x0) = 

y=\sqrt[3]{\left(2x-1\right)^2} ja x_0=-1
y' = 
y' (x0) = 

Ülesanne 1129. Funktsiooni muut

Vastus. Δy = 

Arvutage Δy, kui Δx = 0,02 ja

  1. x = 0.
    Vastus. Δy = 
  2. x=\frac{\pi}{2}.
    Vastus. Δy = 
  3. x=\frac{\pi}{4}.
    Vastus. Δy = 

Millise argumendi väärtuse korral vastab samale argumendi muudule (Δx = 0,02) absoluut­väärtuselt suurim (vähim) funktsiooni muut? Kuidas see kajastub funktsiooni graafikul?

Milline on funktsiooni y = sin x puutuja tõus ülal esitatud argumendi väärtuse korral?

Vastus. Kui x = 0, siis puutuja tõus on . Kui x=\frac{\pi}{2}, siis puutuja tõus on . Kui x=\frac{\pi}{4}, siis puutuja tõus on .

Ülesanne 1130. Parameetrite väärtused

Vastus. a = ; b = 

Ülesanne 1131. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikud ning ekstreemum­punktid

y=\ln\left(x^2-4x\right)

Vastus. X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = 

y=\sqrt{x^2-6x+8}

Vastus. X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = 

Ülesanne 1132. Funktsiooni väärtus

f\left(9,49999\right)  f\left(9,5\right)

f\left(10,5\right)  f\left(10,50001\right)

Ülesanne 1133. Funktsiooni väärtus lõigul

y=x+\frac{1}{x}, x\in\left[-2;\ -\frac{1}{2}\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus sellel lõigul on  ja vähim väärtus on .

y=x^4-2x^2+3, x\in\left[-4;\ 3\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus sellel lõigul on  ja vähim väärtus on .

y=\frac{x^2}{1+\left(x-100\right)^2}, x\in\left[-100;\ 100\right]

Vastus. Funktsiooni suurim väärtus sellel lõigul on  ja vähim väärtus on .

Ülesanne 1134. Funktsiooni uurimine

y=x^3-x^2

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_e = ; X\uparrow_1 = ; X\uparrow_2 = ; X\downarrow = ; X_k = ; X⏜ = ; X⏝ = 

y=x^3-x^2+x

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_e = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_k = ; X⏜ = ; X⏝ = 

y=\frac{x-1}{x}

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_e = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_k = ; X⏜ = ; X⏝ = 

y=\frac{x^2}{^{1+x^2}}

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_e = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_k = ; X⏜1 = ; X⏜2 = ; X⏝ = 

y=4x\ln x

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_e = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_k = ; X⏜ = ; X⏝ = 

y=e^{x^2}

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_e = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_k = ; X⏜ = ; X⏝ = 

Ülesanne 1135. Joone puutuja

Vastus. y = ; y = ; y = 

Ülesanne 1136. Joone puutuja

Leidke joone y=\frac{x}{x^2-1} puutuja, mis on

  1. paralleelne sirgega x+y=5.
    Vastus. y = ; y = ; y = 
  2. risti sirgega 8x-3y=1.
    Vastus. y = ; y = 
Ülesanne 1137. Redel

Viie meetri pikkune redel libiseb mööda seina alla nii, et redeli ülemine ots langeb alla konstantse kiirusega 0,225\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. Leidke, kui kiiresti eemaldub redeli alumine ots maja seinast hetkel, kui ülemise otsa kaugus maa­pinnast on 4 m.

Vastus. Redeli alumine ots eemaldub seinast kiirusega  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Ülesanne 1138. Õhu­pall

Hetkel, kui õhu­palli ruumala kasvab kiirusega 3\ \frac{\mathrm{cm^3}}{\mathrm{\min}}, on selle raadius 9 cm. Kui kiirelt kasvab samal hetkel õhu­palli pindala?

Vastus. Õhu­palli pindala kasvab samal hetkel kiirusega  \frac{\mathrm{cm^2}}{\mathrm{\min}}.

Ülesanne 1139. Slaalomi­rada
Joon. 4.21
  1. Kohal x = 20 libiseb suusataja rajalt välja ja sõidab edasi sirg­jooneliselt mööda raja graafiku puutujat. Millises punktis põrkab ta x-teljel asuvate põhu­pallide vastu? Määrake kõige­pealt põrke­koht joonisel ligi­kaudu joon­laua abil ja see­järel arvutage vastava puutuja võrrandi abil.

Vastus. Kui x = . Puutuja võrrand y = 

  1. Leidke põrke­koht põhu­pallidega juhul, kui suusataja sõidab analoogiliselt rajalt välja kohal x = 25.
    Vastus. Siis x = . Puutuja võrrand y = 
  2. Mis juhtub, kui suusataja sõidab rajalt välja kohal x = 30?
Ülesanne 1140. Horisondi suhtes kaldu üles­visatud keha

Horisondi suhtes kaldu üles­visatud keha liigub seaduse s=\frac{v_0}{g}\sin2\mathrm{\varphi} järgi, kus v0 on alg­kiirus, g raskus­kiirendus ja φ liikumis­suuna kalde­nurk horisondi suhtes. Mis­suguse nurga φ korral on keha lennu­kaugus maksimaalne?

Vastus. Kui φ = 

Ülesanne 1141. Vibreeriv keha

Vibreeriva keha kiirust v (m/s) sõltuvalt ajast t (sekunditest) kirjeldab funktsioon v\left(t\right)=2\left|1-\cos\left(\frac{\pi}{4}\cdot t\right)\right|.

  1. Milline on keha kiirus, kui t = 1,5 s?
    Vastus. Siis on keha kiirus  m/s.
  2. Leidke kiiruse maksimaalne ja minimaalne võimalik väärtus. Millistel aja­hetkedel need saavutatakse?
    Vastus. Kiiruse maksimaalne võimalik väärtus on  m/s, kui t =  ja minimaalne võimalik väärtus on  m/s, kui t = .
Ülesanne 1142. Punkti kaugus

Vastus. Selle punkti kaugus antud paraboolist on .

Ülesanne 1143. Joone puutuja

Vastus. y = ; S = 

Ülesanne 1144. Ette­võtte aasta­toodang

Ette­võtte aasta­toodang võib olla 100 ja 160 ühiku vahel. Arvutused on näidanud, et ette­võte võib selle toodangu eest saada hinda y eurot/ühiku eest vastavalt seosele y=45x-\left(\frac{x}{10}\right)^3, kus x on toodetud ühikute arv.

  1. Mitu ühikut toodet tuleks ette­võttes valmistada, et ühe toote hind oleks suurim?
    Vastus. Valmistada tuleks  toodet.
  2. Kui suur on sellise hinnaga müüdud toodete kogu­hind (eeldusel, et kõik tooted õnnestub ära müüa)?
    Vastus. Kogu­hind on siis  €.
  3. Mitu toodet peaks ette­võte aastas tootma, et aastas saadud kogu­hind oleks maksimaalne?
    Vastus. Siis peaks tootma  toodet.
  4. Millise kogu­hinna võib ette­võte saada, kui 100 ≤ x ≤ 160?
    Vastus. Ette­võte võib saada  ≤ hind ≤ .
Ülesanne 1145. Palli löömine

Vastus. Pall saavutab maa­pinnast maksimaalse kauguse  m.

Ülesanne 1146. Traadi­tüki painutamine

Vastus. Traadi­tükki tuleb painutada nii, et tekkinud ringi­sektori raadius on  m ja sektori nurk  rad.

Ülesanne 1147. Karbid
  1. Millised peaksid olema karbi mõõtmed, et selle valmistamiseks kuluv materjali hulk oleks minimaalne?
    Vastus. Põhiservad peaksid olema  ja  ning kõrgus .
  2. Kui palju materjali kuluks sel juhul 9 dm3 mahuga karbi valmistamiseks (ühendus­kohtadeks kuluvat materjali arvestamata)?
    Vastus. Materjali kuluks siis  dm2.
Ülesanne 1148. Sisse­sõidu­värav
Joon. 4.22
  1. Koostage valem värava ümber­mõõdu P arvutamiseks.
    Vastus. P = 
  1. Milliste a ja b väärtuste korral on 8-meetrise ümber­mõõduga värava rist­lõike pindala maksimaalne?
    Vastus. Kui a =  ja b = 
Ülesanne 1149. Singi müük

Vastus. Kaup­mehel oleks müügist saadav kasum suurim, kui müügi­hind oleks  €.

Ülesanne 1150. Kaameli­ajaja

Vastus. Vesi tuleks müüa oaasist  km kaugusel.

Ülesanne 1151. Valve­kaamera suunamine

Vastus. 

Ülesanne 1152. Redel
Joon. 4.23

Vastus. Lühim sobiv redel on  m pikkune.

Ülesanne 1153. Jõgi ja järv

Vastus. Kanali ots­punktide koordinaadid on  ja .

Ülesanne 1154. Alg­funktsioon

Ülesanne 1155. Määramata integraal

\int \left(\sqrt{x}-3\right)\left(x+2\right)dx = 

\int \left(3x^2+10\right)^2dx = 

\int \frac{2x^2+10x+12}{x+3}dx = 

\int \frac{\left(1-x\right)^2}{x\sqrt{x}}dx = 

\int \frac{\cos^2x}{1-\sin x}dx = 

\int \frac{\sin2x}{\sin x}dx = 

\int 4^x\left(1+\frac{4^{-x}}{x}\right)dx = 

\int \frac{\sin^2x}{\cos^2x}dx = 

\int \cos\left(3x-\pi\right)dx = 

Ülesanne 1156. Alg­funktsioon

Leidke funktsiooni f\left(x\right)=2\sqrt{x} alg­funktsioon, mille graafik läbib punkti B(4; 10). Leidke selle alg­funktsiooni väärtus kohal x=\sqrt[3]{9}.

Vastus. F\left(x\right) = ; F\left(\sqrt[3]{9}\right) = 

Ülesanne 1157. Määratud integraal

\int_{-1}^1\frac{3x+1}{x+2}dx-\int_{-1}^1\frac{x-3}{x+2}dx = 

\int_0^4\left(\sqrt{x}+1\right)^2dx = 

\int_0^{\pi}\left(\sin x+\cos x\right)dx = 

\int_1^4\frac{2x-3x^2+1}{3x^2}dx = 

\int_4^{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+2x^{-\frac{1}{2}}\right)dx = 

\int_0^1\sqrt{3x+1}dx = 

\int_2^e\frac{4x}{x^2-1}dx = 

\int_{-3}^{-2}\frac{x^2}{1-x^3}dx = 

Ülesanne 1158. Määratud integraal

Näidake, et \int_0^22x\sqrt{1+x^2}dx=\int_0^5\sqrt{x}dx.

Ülesanne 1159. Määratud integraal

Leidke \int_{\frac{m}{k}}^{\frac{m}{k}+\frac{\pi}{k}}k\sin\left(kx+m\right)dx, kui k ≠ 0. Kuidas sõltub vastus parameetrist k?

Vastus. \int_{\frac{m}{k}}^{\frac{m}{k}+\frac{\pi}{k}}k\sin\left(kx+m\right)dx = . Vastus  parameetrist k.

Ülesanne 1160. Määratud integraal

Leidke t>-1 nii, et \int_0^1tx^tdx=\frac{2}{3}.

Vastus. t = 

Ülesanne 1161. Määratud integraal

Joonestage funktsiooni f\left(x\right)=\left|x^2-1\right| graafik. Leidke .

Vastus. \int_{-5}^0f\left(x\right)dx = 

Ülesanne 1162. Kujundi pindala

y=4-x^2, y=2x-x^2, x=0

Vastus. S = 

y=x^2-4, y=x^2-6x+8, x=0

Vastus. S = 

y=\sqrt{x}-1, y=0,5x-1

Vastus. S = 

y=x+1, y=0,5x^2-3

Vastus. S = 

y=e^x, y=2-e^x, x=1

Vastus. S = 

x+y=4, x^2+y=4

Vastus. S = 

y=x+\sin x, x=0, x=\pi, y=0

Vastus. S = 

Ülesanne 1163. Pinna­tüki pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 1164. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 1165. Pindalade suhe
Joon. 4.24

Vastus. Nende osade pindalade suhe on .

Ülesanne 1166. Kolm­nurga pindala

Vastus. Kui n = .

Ülesanne 1167. Täis­nurkne kolm­nurk
Joon. 4.25

Vastus. Kolm­nurk saab katta sellest kujundist maksimaalselt .

Ülesanne 1168. Rist­küliku pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 1169. Kraavi kaevamine

Vastus. Sellel lõigul kaevab traktor välja  m3 pinnast.

Ülesanne 1170. Kasvu­hoone

Vastus. Kasvu­hoone ruumala on  m3.

Ülesanne 1171. Müra­kaitse­vall

Vastus. Täite­materjali on vaja  m3.

Ülesanne 1172. Paraboloid

Parabooli f (x) = ax2 pöörlemisel ümber y-telje tekib šampuse­pokaali kujuline paraboloid, mille ruumala sõltuvust pokaali kõrgusest kirjeldab funktsioon V\left(y\right)=\frac{\pi}{2a}\cdot y^2 (joon. 4.26). Pokaali paraboloidse osa kõrgus on h0 = 13 cm ja sellele vastav raadius r0 = 2,50 cm.

Joon. 4.26
  1. Millisele kõrgusele sellises klaasis tuleks teha märge 100 ml?
    Vastus. Kõrgusele  cm.
  1. Leidke funktsioon, mis konstantse täituvuse 25 milli­liitrit sekundis korral kirjeldab vedeliku taseme kõrguse sõltuvust ajast selles pokaalis.
    Vastus. h(t) = 
Seotud sisu
Muud tegevused