Курс „Стереометрия”
Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельными, либо непараллельными.
Две плоскости α и β называются параллельными (пишут α || β), если они не имеют ни одной общей точки.
Если у двух различных плоскостей есть общие точки, то таких точек - бесконечное множество и они образуют прямую, по которой пересекаются плоскости.
Две различные непараллельные плоскости называются пересекающимися. Если плоскости α и β пересекаются по прямой s, то можно записать α ∩ β = s.
Чтобы установить параллельность плоскостей, пользуются признаком параллельности плоскостей.
ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны (рис. 2.31).
Если
 Рис. 2.31 | ||||||
В случае параллельных плоскостей можно говорить о расстоянии между этими плоскостями.
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина заключенного между этими плоскостями отрезка их общей нормали (рис. 2.31, отрезок OO1).
Определим понятие угла между пересекающимися плоскостями. Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с. Проведем через некоторую точку А этой прямой две прямые a и b, перпендикулярные к прямой с – одну в плоскости α, другую – в плоскости β (рис. 2.32). Величина угла между двумя этими прямыми не зависит от выбора точки А на прямой с. В самом деле, если сдвинуть точку А в другое положение, то стороны нового угла между перпендикулярными к прямой с прямыми будут параллельны сторонам первоначального угла, следовательно, его величина не изменится. Построенный угол называется углом между пересекающимися плоскостями α и β.
Углом между двумя плоскостями называется угол между прямыми, проведенными в этих плоскостях через некоторую точку прямой, по которой пересекаются эти плоскости, перпендикулярно к этой прямой.
Обратим внимание, что угол между плоскостями определяется как угол между двумя конкретными прямыми. Поэтому этот угол не может быть больше 90°. Если угол между плоскостями α и β равен 90°, то говорят, что эти плоскости взаимно перпендикулярны и записывают α ⟘ β.
Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.
В случае пересечения двух плоскостей говорят также о двугранных углах. Две такие плоскости разбивают пространство на четыре части. Каждая из этих частей вместе с ограничивающими ее полуплоскостями и называется двугранным углом. При измерении двугранного угла пользуются тем же построением, что и при определении угла между плоскостями, но при этом рассматривают угол, расположенный внутри двугранного угла. Поэтому двугранный угол может быть и тупым (см. угол γ на рисунке 2.33).
 Рис. 2.33 | ||||||
Упражнения
 Рис. 2.34 | ||||||
- Найдите параллельные грани призмы. Обоснуйте свои ответы.
- Найдите расстояния между параллельными гранями призмы, если сторона ее основания равна а и боковое ребро – h.
Ответ: расстояния между параллельными гранями призмы равны и .
Рис. 2.34 | ||||||
- Найдите взаимно перпендикулярные грани призмы.
- Найдите углы между плоскостями, определенными гранями призмы. Есть ли среди этих углов тупые углы?
Ответ: углы между плоскостями, определенными гранями призмы, равны °, ° и °. Среди этих углов тупые углы.
Рис. 2.17 | ||||||
- Найдите величины двугранных углов призмы (открывающихся внутрь призмы).
- Найдите углы между плоскостями, определенными точками А, G, J и А, G, H.
Ответ: углы между плоскостями, определенными данными точками, равны °.
- Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой.
- Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны между собой.
- Две плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой.
- Две плоскости, нормали которых взаимно перпендикулярны, перпендикулярны друг к другу.
- Если нормаль одной плоскости расположена в другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.
- Если нормали двух плоскостей расположены в одной плоскости, то эти плоскости параллельны.
 Рис. 2.35 | ||||||
Ответ: величина этого угла равна °.
Ответ: расстояние от этой точки до второй грани равно
 Рис. 2.36 | ||||||
Ответ: расстояние от этой точки до ребра угла равно см.
 Рис. 2.37 | ||||||
- Найдите высоту, проведенную к гипотенузе этого треугольника, если его катеты равны 7 м и 24 м.
Ответ: высота, проведенная к гипотенузе этого треугольника, равна м. - Вычислите расстояние от вершины прямого угла до заданной плоскости.
Ответ: расстояние от вершины прямого угла до заданной плоскости равно м.
Ответ: апофема этой грани равна
Ответ: угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен
 Рис. 2.38 | ||||||
Ответ: расстояния от основания высоты этой пирамиды до сторон основания равны
В задании 268 мы обнаружили, что
если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с основанием пирамиды, то основание высоты этой пирамиды расположено в центре окружности, вписанной в основание.
Ответ: высота пирамиды равна см.
Ответ: высота пирамиды равна
