Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Kahekordse nurga avaldamine põhivalemite järgi
- siinus
- koosinus
- tangens

Kahekordse nurga valemid

Kahekordse nurga valemid tulenevad väga lihtsalt kahe nurga summa siinuse, koosinuse ja tangensi valemitest, mis olid tõestatud eelmises peatükis.

Märka

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

tan(α + β) = $\frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$

Kahekordse nurga saamiseks piisab sellest, kui teine nurk võtta võrdseks esimesega:

β = α, siis α + β = α + α = 2α.

Seega,

sin 2α = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α,
cos 2α = cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos²α − sin²α,
tan 2α = tan(α + α) = $\frac{tan α + tan α}{1 - tan α tan α} =$ $\frac{2 tan α}{1 - {tan}^{2} α}$

Kahekordse nurga trigonomeetriliste funktsioonide valemid

sin 2α = 2sin α cos α

cos 2α = cos²α − sin²α

tan 2α = $\frac{2 tan α}{1 - {tan}^{2} α}$

Kui 2α on kahekordne nurk, siis ühekordne nurk on
Kui 4α on kahekordne nurk, siis ühekordne nurk on
Kui α on kahekordne nurk, siis ühekordne nurk on
Kui 2sin α cos α = sin 2α, siis
sin α cos α =
Kui 2sin α cos α = sin 2α, siis
4sin α cos α =
Kui 2sin α cos α = sin 2α, siis
3sin α cos α =
Kui cos²α – sin²α = cos 2α, siis
sin²α – cos²α =
Kui cos²α – sin²α = cos 2α, siis
sin²α + cos²α =
Kui 2sin α cos α = sin 2α, siis
4sin²α cos²α =

Näited

Näide 1

Lihtsustame avaldise (sin α + cos α)² – sin 2α.

Lahendus

Avame sulud summa ruudu valemi põhjal.

(sin α + cos α)² – sin 2α =
= sin²α + 2sin α cos α + cos²α – 2sin α cos α =
= sin²α + cos²α = 1

Näide 2

Lihtsustame avaldise 1 – 4sin²α + 4sin 4α – 4sin ²α cos ²α.

Lahendus

Grupeerime kolm esimest liidetavat ja märkame viimases liidetavas sin 2α ruutu.

1 – 4sin²α + 4sin⁴α – 4sin²α cos²α =
= (1 – 2 sin²α)² – (2sin α cos α)² =
= (cos²α – sin²α)² – sin²2α =
= cos²2α – sin²2α = cos 4α

More like this

Harjuta ja treeni

1) (sin 5° – cos 5°)(sin 5° + cos 5°) =

a² – b²
(a ± b)²
1
tan α
sin 2α
cos 2α
sin(90°– α)
cos(90°– α)
teisendamine I veerandi nurgaks

2) cos⁴20° – sin⁴20° =

a² – b²
(a ± b)²
1
tan α
sin 2α
cos 2α
sin(90°– α)
cos(90°– α)
teisendamine I veerandi nurgaks

3) $\frac{\cos 56 °}{2 \sin 17 ° \cos 17 °} =$

a² – b²
(a ± b)²
1
tan α
sin 2α
cos 2α
sin(90°– α)
cos(90°– α)
teisendamine I veerandi nurgaks

4) $\frac{\sin^{2} 35 ° - \sin^{2} 55 °}{\sin 20 °} =$

a² – b²
(a ± b)²
1
tan α
sin 2α
cos 2α
sin(90°– α)
cos(90°– α)
teisendamine I veerandi nurgaks

–2sin α cos α + sin 2α =
4 – 4cos²α – 4sin²α =
(sin α – cos α)² + sin 2α =
$\frac{4 - {(2 \cos α - 2 \sin α)}^{2}}{\sin 2 α} =$

Märka

Pikema lahenduskäiguga harjutamisülesanded on mõistlik lahendada vihikus.

Pea meeles! Vilumus tekib vaid harjutades.

10_trigovalem_print4.pdf

50°
20°
80°

2(cos² – sin²  ) · cos 10° =
= –2cos 80° ⋅ cos 10° =
= –sin 
2cos 50° · (cos²  – sin² ) =
= 2cos 50°⋅ sin  =
= sin 
2cos²40° ⋅ cos 10° – 2sin²40° ⋅ cos 10° =
= 2cos 10° ⋅ cos =
= sin 
2sin²20° ⋅ cos 50° – 2 cos²20° ⋅ cos 50° =
= –2cos  ⋅ sin  =
= – sin

=
≠

cos²α – sin²α cos 2α
cos⁴α – sin⁴α cos 2α
cos⁸α – sin⁸α cos 2α

Vastused

${tan}^{2} α$ on tehte lihtsustustulemus
$\frac{- tan α}{2}$ on tehte lihtsustustulemus
$\frac{1}{\cos^{2} α}$ on tehete ja lihtsustustulemus
$\frac{cos α - 1}{cos α + 1}$ on tehte lihtsustustulemus
$\frac{- {sin}^{2} α}{2 {cos}^{2} α + 1}$ on tehte lihtsustustulemus

More like this

Kahekordse nurga valemid

More like this

Lisalugemist

Näide 1

Leiame nurga $\frac{2 π}{3}$ ehk 120° trigonomeetrilised funktsioonid, kasutades kahekordse nurga valemeid.

sin 120° = sin(2 ⋅ 60°) = 2sin 60° ⋅ cos 60° =
= $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
cos 120° = cos(2 ⋅ 60°) = cos²60° − sin²60° =
= $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{2}$
tan 120° = tan(2 ⋅ 60°) = $\frac{2 tan 60 °}{1 - {tan}^{2} 60 °} =$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{1 - 3} = - \sqrt{3}$
cot 120° = $\frac{1}{tan 120 °} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Näide 2

Leiame cos 4α ja tan 3α, kui α on esimese veerandi nurk ning $sin α = \frac{1}{3} .$

cos 4α

Leiame esmalt nurga α koosinuse:
$cos α = \sqrt{1 - {sin}^{2} α} =$ $\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$
Siis sin 2α = 2sin α cos α = $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$
cos 4α = cos²2α − sin²2α = 1 − 2sin²2α =
$= 1 - 2 \cdot \frac{16 \cdot 2}{81} = \frac{81 - 64}{81} = \frac{17}{81}$

tan 3α

tan α = $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
tan 2α = $\frac{2 tan α}{1 - {tan}^{2} α} =$ $\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}}{1 - \frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \cdot 7} = \frac{4 \sqrt{2}}{7}$
tan 3α = tan(2α + α) = $\frac{tan 2 α + tan α}{1 - tan 2 α tan α} =$
$= \frac{\frac{4 \sqrt{2}}{7} + \frac{\sqrt{2}}{4}}{1 - \frac{4 \sqrt{2}}{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\frac{16 \sqrt{2} + 7 \sqrt{2}}{7 \cdot 4}}{1 - \frac{4^{1} \cdot 2}{7 \cdot 4_{1}}} =$
$= \frac{\frac{23 \sqrt{2}}{28}}{\frac{5}{7}} = \frac{23 \sqrt{2} \cdot 7^{1}}{28_{4} \cdot 5} = \frac{23 \sqrt{2}}{20}$

Näide 3

Lihtsustame avaldise 1 – 4 sin²α + 4 sin⁴α – 4 sin²α cos²α.

1 – 4 sin²α + 4 sin⁴α – 4 sin²α cos²α =
= 1 – 4sin²α · (1 – sin²α) – 4sin²αcos²α =
= 1 –8sin²αcos²α =
= 1 – 2(2sinαcosα)² =
= 1 – 2sin²2α =
= cos²2α – sin²2α = cos4α

Näide 4

Lihtsustame avaldise $\frac{cos 4 γ}{{(sin γ - cos γ)}^{2} - 2 {sin}^{2} γ} .$

$\frac{cos 4 γ}{{(sin γ - cos γ)}^{2} - 2 {sin}^{2} γ} =$
$= \frac{{cos}^{2} 2 γ - {sin}^{2} 2 γ}{{sin}^{2} γ - 2 sin γ cos γ + {cos}^{2} γ - 2 {sin}^{2} γ} =$
$= \frac{{cos}^{2} 2 γ - {sin}^{2} 2 γ}{{cos}^{2} γ - {sin}^{2} γ - sin 2 γ} =$
$= \frac{(cos 2 γ - sin 2 γ) (cos 2 γ + sin 2 γ)}{cos 2 γ - sin 2 γ} =$
$= sin 2 γ + cos 2 γ$

More like this

Service provided by Star Cloud LLC

Join Opiq

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Kahekordse nurga trigono­meetrilised funktsioonid

More like this

Kahekordse nurga valemid

Märka

Näited

Näide 1

Näide 2

More like this

Harjuta ja treeni

Märka

More like this

Kahekordse nurga valemid

More like this

Lisalugemist

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Näide 4

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies

Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid