Logaritmi põhiomadused. Logaritmimine ja potentseerimine

Korrutise logaritm
Jagatise logaritm
Astme logaritm
Logaritmimine ja potentseerimine
Astendaja leidmine

More like this

Korrutise logaritm

Teoreem 1

Korrutise logaritm võrdub logaritmide summaga.

$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$

Tõestus 1

Sama alusega astmete jaoks kehtib võrdus

a^m ⋅ aⁿ = a^m+n.

Asendame m ja n logaritmidega

m = log_a b ja n = log_a c

ning saame võrduse

$a^{\log_{a} b} \cdot a^{\log_{a} c} = a^{\log_{a} b + \log_{a} c} .$

Kuid

$a^{\log_{a} b} \cdot a^{\log_{a} c} = b c = a^{\log_{a} b + \log_{a} c} .$

Kui sama aluse astmed on võrdsed, siis ka astendajad on võrdsed:

$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ ■

Näide 1

Leiame avaldise väärtuse.

$\log_{2} \frac{25}{6} + \log_{2} \frac{60}{125} = \log_{2} (\frac{25 \cdot 60}{6 \cdot 125}) = \log_{2} 2 = 1$

log₃ 6 + log₃ 1,5 =
=log₃  =
log 500 + log 2 =
=log =
log_0,5 5 + log_0,5 12,8 + log_0,5 2 =
=
9 = log₂ =
log₂ 10 + log₂

More like this

Jagatise logaritm

Teoreem 2

Jagatise logaritm võrdub logaritmide vahega.

$\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c$

Tõestus 2

Sama alusega astmete jaoks kehtib võrdus

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ .

Asendame m ja n logaritmidega

m = log_a b ja n = log_a c,

siis

$\frac{a^{\log_{a} b}}{a^{\log_{a} c}} = a^{\log_{a} b - \log_{a} c}$

ja

$\frac{a^{\log_{a} b}}{a^{\log_{a} c}} = \frac{b}{c} = a^{\log_{a} \frac{b}{c}} = a^{\log_{a} b - \log_{a} c} .$

Kui võrdsustame a astendajad, saamegi vajaliku võrduse

$\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c .$ ■

Näide 2

$\log_{7} 98 - \log_{7} 2 = \log_{7} (98 : 2) = \log_{7} 49 = 2$
$\log_{3} \frac{18}{7} - \log_{3} \frac{2}{7} = \log_{3} (\frac{18}{7} : \frac{2}{7}) = \log_{3} 9 = 2$

$\log_{2} 15 - \log_{2} \frac{15}{16} = \log_{2} =$
$\log 12000 - \log 12 = \log =$
$3 = \log_{5} = \log_{5} - \log_{5} 3$
$\ln 8 = \ln 36 - \ln + \ln 2$

More like this

Astme logaritm

Teoreem 3

Astme logaritm võrdub astendaja ja astendatava logaritmi korrutisega.

$\log_{a} b^{s} = s \cdot \log_{a} b$

Tõestus 3

Alustame astme astendamise reeglist

${(a^{n})}^{s} = a^{n \cdot s} .$

Asendame $n = \log_{a} b,$ siis

$a^{n} = a^{\log_{a} b} = b$

ning

$b^{s} = a^{s \cdot \log_{a} b} .$

Kuid logaritmi definitsiooni kohaselt

$b^{s} = a^{\log_{a} b^{s}} .$

Seega,

$a^{\log_{a} b^{s}} = a^{s \cdot \log_{a} b}$

ning $\log_{a} b^{s} = s \cdot \log_{a} b .$

$\log_{a} b^{s} = s \cdot \log_{a} b .$ ■

Märka

Kuna juurt võib vaadelda murdarvulise astendajaga astmena, siis kehtib 3. teoreem ka juurte korral ja üldiselt mis tahes reaalarvulise astendaja s korral.

Kuna

$\sqrt[n]{b} = b^{\frac{1}{n}},$

siis

$\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \cdot \log_{a} b .$

Näide 3

$\log_{5} 25^{6} = 6 \cdot \log_{5} 25 = 6 \cdot 2 = 12$
$\log_{3} \frac{1}{9^{4}} = \log_{3} 9^{- 4} = - 4 \cdot \log_{3} 9 = - 4 \cdot 2 = - 8$
$\log \sqrt[5]{100} = \log 100^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \log 100 = \frac{1}{5} \cdot 2 = 0, 4$

$\log_{3} 27^{7} = 7 \cdot =$
$\log_{6} 36^{36} = \cdot 2 =$
$\log_{5}^{6} = \cdot 4 =$
$\log_{} 64^{10} = \cdot = 30$

More like this

Logaritmimine ja potentseerimine

Kokkuvõte

Teoreemides 1–3 tõestatud logaritmide omadused saab kokku võtta üheks võrduseks:

${log}_{a} (b^{s} \cdot c^{t}) = s \cdot {log}_{a} b + t \cdot {log}_{a} c,$

b > 0 ja c > 0.

Logaritmimine

Avaldise logaritmi leidmist nimetatakse logaritmimiseks.

Potentseerimine

Avaldise leidmist selle logaritmi kaudu nimetatakse potentseerimiseks.

Märka

Logaritmi omaduste meelespidamiseks piisab ühest võrdusest.

Teoreemi 1 saame, kui

s = t = 1.

Teoreemi 2 saame, kui

s = 1 ja t =–1.

Teoreemi 3 saame, kui

c = 1.

Näited

Logaritmimine

Leiame kümnendlogaritmi avaldisest $\frac{x^{5} \cdot \sqrt{a^{2} + 1}}{{(x^{3} + 2)}^{4}},$ kui $x > 0, x^{3} + 2 > 0 .$

$\log \frac{x^{5} \cdot \sqrt{a^{2} + 1}}{{(x^{3} + 2)}^{4}} =$

$= 5 \log x + \frac{1}{2} \log (a^{2} + 1) -$ $4 \log (x^{3} + 2)$

Paneme tähele, et logaritme kahes viimases liikmes ei saa edasi teisendada.

Potentseerimine

Potentseerime avaldise

$A = 3 - 2 \log a + \frac{2}{3} \log (b + 1) -$ $5 \log (a^{3} + 3) .$

Vastavalt logaritmi definitsioonile

$3 = \log 10^{3} = \log 1000 .$

Järelikult A =

$= \log 1000 + \log a^{- 2} +$ $\log {(b + 1)}^{\frac{2}{3}} + \log {(a^{3} + 3)}^{- 5} =$

$= \log \frac{1000 \sqrt[3]{{(b + 1)}^{2}}}{a^{2} {(a^{2} + 3)}^{5}} .$

Vastus

Avaldise A potentseeritud avaldis on

$\frac{1000 \sqrt[3]{{(b + 1)}^{2}}}{a^{2} {(a^{2} + 3)}^{5}} .$

log $a \sqrt{b}$
log $\frac{a}{b^{2}}$
log $\frac{a^{2}}{b^{2}}$
log $a^{2} b$
log $\frac{\sqrt{a}}{b^{2}}$
log $\frac{b}{\sqrt{a}}$
log $\sqrt{a} b^{2}$
log $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

log a – 2log b =
2log a + log b =
0,5log b + log a =
0,5log a – 2log b =
2log a – 2log b =
log b – 0,5log a =
0,5(log a – log b) =
0,5log a+2log b =

Märka liidetavaid

Logaritmi summast või vahest ei saa vahetult teisendada.

${log}_{a} (A \pm B) \neq {log}_{a} A \pm {log}_{a} B$

A ja B on mingid avaldised.

More like this

Astendaja leidmine

Uued teadmised

Seniste teadmiste põhjal pidime võrrandis astendaja leidma proovimise teel. Nüüdseks oleme aga varustust täiendanud logaritmimise ja logaritmi omadustega, mis lihtsustavad astendaja leidmist.

Märka

Avaldist on mõistlik logaritmida kümnendlogaritmiga või naturaallogaritmiga, sest mõlemaid on võimalik lihtsalt taskuarvutiga leida.

Lahendus

Koostame võrduse mikroobide arvu kohta t tunni möödudes.

2^t =

Logaritmime võrduse pooli kümnendlogaritmiga.

2^t= $10^{}$

Rakendame astme logaritmi omadust.

⋅ log 2 = log 10

Avaldame muutuja t. Ümarda täistunniks.

$t = \frac{}{\log 2} \approx$

Vastus

tunni järel on mikroobe miljon.

Koosta avaldis aja t leidmiseks.

$1000 \cdot^{t} =$

Jaga avaldise pooled 1000-ga ja logaritmi naturaal- või kümnendlogaritmiga.

$^{}$ =

Avalda ja arvuta aeg t.

Vastus

Rahasumma kahekordistub aasta pärast.

More like this

Harjuta ja treeni

log₃ 6 + log₃ 1,5 =
3log_0,1 2 + 3log_0,1 5 =
$0, 5 \log_{4} 36 + \log_{4} 14 - 3 \log_{4} \sqrt[3]{21} =$
$2 \log_{3} 6 - 0, 5 \log_{3} 400 + 2 \log_{3} \sqrt{45} =$
$\log_{0, 2} \sqrt{3} - 0, 5 \log_{0, 2} 12 + \log_{0, 2} 50 =$

$n^{3} = m$
$m =$ $n^{2} - 3$
$m = 3^{n}$
$2^{m} =$ $n + 3$
${(n + 3)}^{10}$ $= m$
$10^{n + 3}$ $= m$
$n^{2 m}$ $= 3$
$3^{2 n}$ $= m$

$n =$ $\sqrt[3]{m}$
$n =$ $\pm \sqrt{m + 3}$
$n =$ $\log_{3} m$
$n =$ $2^{m} - 3$
$n =$ $m^{0, 1} - 3$
$n =$ $\log m - 3$
$n =$ ${(\sqrt{3})}^{\frac{1}{m}}$
$n =$ $\log_{3} \sqrt{m}$

$\ln 2$
$\ln (e + 2) + 1$
$0, 5 - \ln 2$
–0,5
$\ln 2 + 2$
$2 - \ln 2$
–2
$2 \ln (e + 2) - \ln 2$

Avaldis	Avaldise logaritm
$2 e^{2}$
$\frac{1}{\sqrt{e}}$
$\frac{\sqrt{e}}{2}$
$\frac{{(e + 2)}^{2}}{2}$
$2 e + e^{2}$
$\frac{e^{2}}{2}$

$a^{2}$
$a$
$a^{- 1}$
$a^{3}$
$a^{0, 5}$
$a^{- 0, 5}$
$a^{0, 2}$

Avaldis	Potentseeritud avaldis
$3 \log a + \log 1$
$\frac{\log a}{5} - \log 1$
$\log_{2} a + \frac{2 \log_{2} a^{3}}{3}$
$- 2 \log_{2} a + \frac{3 \log_{2} a}{2}$
$\log_{3} a \cdot (\log_{3} 15 - \log_{3} 5)$
$\ln a \cdot (\ln e^{2} - \ln \frac{1}{e})$

Märkus

Astendaja kirjutamisel kasuta märki ^.

Logaritmitud avaldis	Avaldis
$3 - \log_{3} 5$
$\ln (e + 1) - \ln 1$
$\log (\log 5 + \log 20)$
$2 \ln e^{- 2} \cdot (1 - 2 \ln e^{3})$

Koosta võrrand ööpäevade arvu x leidmiseks.

$^{x} =$

Avalda x naturaallogaritmide abil.

$x = \frac{}{}$

Arvuta x.

x ≈

Vastus

Selliseks lagunemiseks kulub umbes ööpäeva.

Vastvalminud küpsetise H_v = 1.

Küpsetamisjärgsel päeval on H_v = .
Selleks, et küpsetis oleks poole vähem maitsev kui valmides, kulub umbes päeva.
Küpsetise söömisest loobutakse üldjuhul, kui H_v ≤ 0,38. See juhtub päeval.

More like this

Jäta meelde

$\log_{a} b +$ $\log_{a} c =$
$\log_{a} b -$ $\log_{a} c =$
$c \log_{a} b$ =

$\log_{a} (b c)$
$\log_{a} \frac{b}{c}$
$\log_{a} b^{c}$

More like this

Service provided by Star Cloud LLC

Join Opiq

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Logaritmi põhi­omadused. Logaritmi­mine ja potent­seerimine

More like this

Korrutise logaritm

Teoreem 1

Tõestus 1

Näide 1

More like this

Jagatise logaritm

Teoreem 2

Tõestus 2

Näide 2

More like this

Astme logaritm

Teoreem 3

Tõestus 3

Märka

Näide 3

More like this

Logaritmimine ja potentseerimine

Kokkuvõte

Logaritmimine

Potentseerimine

Märka

Näited

Logaritmimine

Potentseerimine

Vastus

Märka liidetavaid

More like this

Astendaja leidmine

Uued teadmised

Märka

Lahendus

Vastus

Vastus

More like this

Harjuta ja treeni

Märkus

Vastus

More like this

Jäta meelde

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies

Logaritmi põhiomadused. Logaritmimine ja potentseerimine