Вписанный угол

Про дугу окружности, заключенную между сторонами вписанного угла, говорят, что вписанный угол опирается на эту дугу (на рисунке А угол ВАС опирается на дугу $$ \stackrel{⏜}{BC}$$). На рисунке Б изображены опирающиеся на одну и ту же дугу вписанный угол α и центральный угол α'.

Первая часть. Центр окружности расположен на одной из сторон вписанного угла (рисунок А). Проследи внимательно ход рассуждений.

1. Треугольник BCD – равнобедренный, так как CD = CB – эти отрезки являются радиусами одного и того же круга.
2. α = β – углы при основании равнобедренного треугольника.
3. α' = α + β – свойство внешнего угла треугольника, см. § 3.10.
4. α' = α + α – или α' = 2α – следует из пунктов 2 и 3.
5. α = 0,5α'. ■

Вторая часть. Центр окружности располо­жен внутри вписанного угла (рис. Б). Проведем из вершины D впи­санного угла луч, проходящий через центр окружности C (рис. В). Тогда вписанный угол a разбивается на два вписанных угла β и γ, на общей сто­роне которых лежит центр окружности. По дока­занному в первой части получим:

1. β = 0,5β' и γ = 0,5γ'.
2. α = β + γ = o,5β' + 0,5γ' = 0,5(β' + γ').
3. α = 0,5α', так как β' + γ' = α'. ■

Из доказанной теоремы следует, что:

так как каждый из них составляет половину одного и того же центрального угла.