Обобщение понятия степени

Определяя понятие степени, мы обобщали его шаг за шагом, рассматривая в качестве показателя степени:

положительные натуральные числа;
число 0;
отрицательные целые числа.

Но что понимают под степенью с дробным показателем?

Задание 140. Степень с дробным показатеем

Вычислите с помощью ранее изученных формул возведения в степень. Сравните между собой полученные в пунктах 1) и 2) равенства.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ =	${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ =	${(a^{\frac{1}{3}})}^{3}$ =	${(a^{\frac{1}{n}})}^{n}$ =
${(\sqrt{3})}^{2}$ =	${(\sqrt[3]{2})}^{3}$ =	${(\sqrt[3]{a})}^{3}$ =	${(\sqrt[n]{a})}^{n}$ =

Каким корнем можно заменить степень

a^{\frac{1}{n}}

(

a \geq 0

;

n \in N

n > 1

Ответ: степень $a^{\frac{1}{n}}$ дожна обозначать корень -й степени.

Пользуясь формулой ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ и результатом, полученным в пункте 1, сформулируйте правило вычисления степени $a^{\frac{m}{n}}$ ;

$a^{\frac{m}{n}}$ = ${(a^{\frac{1}{n}})}^{m}$ = =

Подытоживая результаты, полученные при решении предыдущего задания, мы можем теперь определить степень с дробным показателем следующим образом:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

(

a \in R^{+}

m \in Z

n \in N

n > 1

Отметим, что определение возведения в степень можно дать и в общем случае, когда показателем степени является произвольное действительное число. При этом в случае иррационального показателя a его заменяют некоторым рациональным приближением. Последнее же всегда можно выразить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ . Таким образом, всегда можно вычислить приближенное значение рассматриваемой степени:

$a^{α} \approx a^{\frac{m}{n}}$ , где $α \approx \frac{m}{n}$ и $a > 0$ .

Примеры.

$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$
$\sqrt[3]{13} = 13^{\frac{1}{3}}$
${(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{{(\frac{8}{9})}^{2}} = {(\frac{8}{9})}^{\frac{2}{5}}$
$2^{- \frac{3}{4}} = 2^{\frac{- 3}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2^{3}}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$
$\sqrt[4]{5^{- 3}} = 5^{\frac{- 3}{4}} = 5^{- \frac{3}{4}}$

Упражнения A

Задание 141. Запись дробного показателя с помощью знака корня

$2^{\frac{1}{2}}$ =

3^{- \frac{3}{4}}

{1,5}^{1 \frac{1}{2}}

{3,5}^{- 0,75}

2^{3,5}

π^{0,125}

3^{\frac{2}{3}}

2^{- \frac{5}{2}}

{1,5}^{- 2,4}

Задание 142. Представление корня с помощью дробного показателя степени

\sqrt[3]{2}

\sqrt[5]{-25}

\sqrt[6]{71}

\sqrt[3]{7^{2}}

\sqrt[5]{2^{6}}

\sqrt[4]{\sqrt{2}}

\sqrt{{(0,25)}^{- 3}}

\sqrt[3]{\sqrt{5}}

3 \sqrt[3]{\sqrt{3^{- 1}}}

Задание 143. Дробный показатель степени

49^{\frac{1}{2}}

$64^{\frac{1}{3}}$ =

$32^{\frac{1}{5}}$ =

$8^{\frac{2}{3}}$ =

$27^{\frac{2}{3}}$ =

125^{\frac{2}{3}}

8^{- \frac{2}{3}}

64^{- \frac{3}{4}}

{0,0196}^{- \frac{1}{2}}

27^{- \frac{5}{6}}

{0,343}^{- \frac{1}{3}}

{(\frac{25}{64})}^{- \frac{1}{2}}

64^{\frac{2}{3}} - 27^{\frac{4}{3}}

{0,343}^{\frac{2}{3}} + {0,729}^{\frac{2}{3}}

{(\frac{16}{9})}^{1 \frac{1}{2}} + {(\frac{9}{64})}^{- \frac{3}{2}}

{(\frac{625}{256})}^{0,75} + {(\frac{512}{216})}^{- \frac{2}{3}}

Упражнения Б

Задание 144. Представление корня с помощью дробного показатея степени

\sqrt[3]{2 \sqrt{3}}

\frac{5}{\sqrt[3]{3 \sqrt{3}}}

\frac{4}{\sqrt[5]{2 \sqrt{3}}}

Задание 145. Сравнение

8^{1,5}

12^{0,75}

$12^{1,5}$ $8^{\frac{2}{3}}$

$64^{- 1 \frac{1}{3}}$ $36^{- 1,5}$

${(\frac{1}{16})}^{- 0,75}$ ${(\frac{1}{8})}^{- 1 \frac{1}{3}}$

Обобщение понятия степени

Задание 140. Степень с дробным показатеем

More like this

Упражнения A

Задание 141. Запись дробного показателя с помощью знака корня

Задание 142. Представление корня с помощью дробного показателя степени

Задание 143. Дробный показатель степени

More like this

Упражнения Б

Задание 144. Представление корня с помощью дробного показатея степени

Задание 145. Сравнение

More like this

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Обобщение понятия степени

Задание 140. Степень с дробным показатеем

More like this

Упражнения A

Задание 141. Запись дробного показателя с помощью знака корня

Задание 142. Представление корня с помощью дробного показателя степени

Задание 143. Дробный показатель степени

More like this

Упражнения Б

Задание 144. Представление корня с помощью дробного показатея степени

Задание 145. Сравнение

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies