Площадь сектора

Сектором круга, или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги. На рисунке 5.32 два сектора OAB: один из них ограничен непрерывной дугой AB (этот сектор закрашен), а другой – пунктирной дугой. Углом сектора является соответствующий центральный угол. Выразим площадь сектора через его угол и радиус круга.

Рис. 5.32

Ясно, что площади секторов одного и того же круга пропорциональны углам этих секторов. Поэтому, если угол сектора α задан в градусной мере, то для нахождения площади сектора нужно сначала найти площадь сектора с углом в 1° и затем умножить площадь одноградусного сектора на градусную меру данного угла.

Пример 1.

Найдем площадь сектора с центральным углом 65°15', если радиус r = 8 cм.

Решение. Выразим данный угол в градусах: 65°15' = 65,25°. Полный угол составляет 360°. , следовательно, площадь S1 сектора с углом в 1° в 360 раз меньше площади круга:

S_1=\frac{\pi r^2}{360}=\frac{64\pi}{360}=\frac{8\pi}{45}\ \mathrm{\left(см^2\right)}.

Так как угол сектора равен 65,25°, то искомая площадь

S = 65,25 ⋅ S1 = 65,25\cdot\frac{8\pi}{45} = 11,6π ≈ 36,4 (см2).

Выведем теперь формулу для вычисления площади сектора с углом х радиан и радиусом r.

Так как полный угол равен 2π рад, то площадь сектора с центральным углом в 1 рад равна S_1=\frac{\pi r^2}{2\pi}=\frac{r^2}{2}, а искомая площадь сектора с углом в х рад равна S=x\cdot S_1=x\cdot\frac{r^2}{2}, т. е.

S=xr22.

Пример 2.

Найдем площадь сектора, если его угол x = 0,8 рад и радиус r = 5 cм.

По формуле получим:

S=\frac{xr^2}{2}=\frac{0,8\cdot25}{2}=10\ \left(\mathrm{см^2}\right).

Площадь сектора можно выразить и через длину соответствующей дуги. Для этого в только что выведенной формуле сделаем подстановку l = xr и получим формулу

S=rl2.

Пример 3.

Вычислим площадь сектора с радиусом 8 см, если длина ограничивающей его дуги равна 10 см. На основании формулы

S=\frac{8\cdot10}{2}=40\ \left(\mathrm{\mathrm{см^2}}\right).

More like this
More options

Упражнения A

Задание 753. Площадь сектора и длина дуги
Рис. 5.33.1

Ответ: S =  см2; l =  см.

Рис. 5.33.2

Ответ: S =  см2; l =  см.

Рис. 5.33.3

Ответ: S =  дм2; l =  дм.

Рис. 5.33.4

Ответ: S =  см2; l =  см.

Рис. 5.33.5

Ответ: S =  см2; l =  см.

Задание 754. Площадь сектора

Угол сектора

Площадь сектора

30°

 см2

100°

 см2

30°15'

 см2

2°8'

 см2

Угол сектора

Площадь сектора

4

 см2

0,3

 см2

0,011

 см2

1,5

 см2

Угол сектора

Площадь сектора

\frac{\pi}{9}

 см2

\frac{7\pi}{18}

 см2

\frac{4\pi}{5}

 см2

\frac{\pi}{4}

 см2

Задание 755. Площадь сектора и длина дуги

№

α

r

l

S

1.

240°

4

2.

8

3,84

3.

18°

31,4

4.

1,2 рад

15

5.

48°

12

6.

0,52 рад

2,6

More like this
More options

Упражнения Б

Задание 756. Длина дуги сектора

Ответ: l =  см.

Задание 757. Длина дуги сектора

Ответ: l =  см или l =  см.

Задание 758. Площадь сектора и длина дуги

1) площади секторов OAB, OCD, OEF;

Рис. 5.34
Рабочий лист

Ответ: SOAB =  cм2, SOCD =  cм2, SOEF =  cм2.

2) длины дуг AB ⏜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLMBP9 MBGaLCVbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfga saacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8 WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0d meaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaGiaaqaaiaadgeaca WGcbaacaGLImcaaaa@36B6@ ,  CD ⏜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLMBP9 MBGaLCVbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfga saacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8 WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0d meaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaGiaaqaaiaadoeaca WGebaacaGLImcaaaa@36BA@ и EF ⏜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLMBP9 MBGaLCVbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfga saacH8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8 WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0d meaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaGiaaqaaiaadweaca WGgbaacaGLImcaaaa@36BE@ .

Ответ: lAB =  см, lCD =  см, lEF =  см.

Задание 759. Площадь сегмента

Ответ: Sсегмент = 

Рис. 5.35
  • Вычислите площадь сегмента, если r=8 и x=\frac{\pi}{6}\ \mathrm{рад}.

    Ответ: Sсегмент = 
  • Выведите формулу для вычисления площади сегмента, если x=\frac{\pi}{3}\ \mathrm{рад}.

    Ответ: Sсегмент = 
Задание 760. Площадь розетки
Рис. 5.36

Ответ: S = 

  • Сколько процентов от площади круга составляет площадь розетки?

    Ответ: площадь розетки составляет % от площади круга.
  • Вычислите площадь розетки, если r = 8 cм.

    Ответ: S =  см².
More like this
More options