Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

1. SIINUSFUNKTSIOONI TULETIS.

Leiame siinusfunktsiooni tuletise. Selleks läheb tarvis valemit sin α – sin β teisendamiseks korrutiseks. Tuletame selle valemi. Teatavasti

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y.

Lahutame nende võrduste vastavad pooled. Siis

sin (x + y) – sin (x – y) = 2 cos x sin y.

Leiame x ja y nii, et x + y = α ja x – y = β ning asendame siis tulemused viimasesse võrdusse. Nendest võrranditest koosneva süsteemi lahendamisel saame, et x=\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2} ja y=\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}. Nüüdsin α – sin β = 2\cos\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2}\sin\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}.Funktsiooni y = sin x tuletise leidmiseks leiame Δy avaldise. Seejuures kasutame äsja tuletatud valemit:\Delta y = \sin\left(x+\Delta x\right)-\sin x = 2\cos\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2} = 2\cos\left(x+0,5\Delta x\right)\sin0,5\Delta x.Teades, et $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , saame:

$(\sin x)'$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{2 \cos (x + 0,5 Δ x) \cdot \sin 0,5 Δ x}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} \cos (x + 0,5 Δ x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin 0,5 Δ x}{0,5 Δ x}$ = $\cos x \cdot 1$ = $\cos x$ .

Seega,

(sin x)' = cos x.

Näide 1.

Leiame 1) y=\frac{1-\sin x}{\sin x} ja 2) y = sin(4x³ – x) tuletise.

Jagatise tuletise reegli kohaselt

y' = \frac{\left(1-\sin x\right)^'\sin x-\left(1-\sin x\right)\left(\sin x\right)^'}{\sin^2x} = \frac{-\cos x\sin x-\left(1-\sin x\right)\cos x}{\sin^2x} = -\frac{\cos x}{\sin^2x}.

Olgu y = sin t ja t = 4x³ – x, siis

y' = \left(\sin t\right)^'\cdot\left(4x^3-x\right)^' = \cos t\cdot\left(12x^2-1\right) = \left(12x^2-1\right)\cos\left(4x^3-x\right).

2. KOOSINUSFUNKTSIOONI TULETIS.Analoogiliselt siinusfunktsiooniga leitakse funktsiooni y = cos x tuletis. Seejuures kasutatakse valemit \cos\mathrm{\alpha}-\cos\mathrm{\beta}=-2\sin\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2}\sin\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}, mida seni pole varem samuti käsitletud:\Delta y = \cos\left(x+\Delta x\right)-\cos x = -2\sin\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2} = -2\sin\left(x+0,5\Delta x\right)\sin0,5\Delta x;

(\cos x)'

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

\lim_{Δ x \to 0} \frac{- 2 \sin (x + 0,5 Δ x) \sin 0,5 Δ x}{Δ x}

- \lim_{Δ x \to 0} \sin (x + 0,5 Δ x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin 0,5 Δ x}{0,5 Δ x}

- \sin x \cdot 1

- \sin x

Seega,

(cos x)' = –sin x.

Näide 2.

Leiame y = sin x ⋅ cos x tuletise.

Korrutise tuletise reegli kohaselt

(\sin x\cdot\cos x)^' = (\sin x)^'\cdot\cos x+\left(\sin x\right)\cdot\left(\cos x\right)^' = \cos^2x-\sin^2x = \cos2x.

3. TANGENSFUNKTSIOONI TULETIS.Funktsiooni y = tan x tuletis leitakse jagatise \frac{\sin x}{\cos x} tuletisena. Selgub, et

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

Näide 3.

Leiame y = x – tan x tuletise.

\left(x-\tan x\right)^' = 1-\frac{1}{\cos^2x} = \frac{\cos^2x-1}{\cos^2x} = -\frac{\sin^2x}{\cos^2x} = -\tan^2x.

Näide 4.

Leiame y = cos^–1 x – tan² x tuletise.

Tuletis tuleb võtta kummastki liidetavast, mida vaatleme liitfunktsioonidena. Esimese liidetava korral y = u^–1 ja u = cos x, teise korral y = t² ja t = tan x.

Nüüd

\left(\cos^{-1}x-\tan^2x\right)^' = \left(u^{-1}\right)^'\cdot\left(\cos x\right)^'-\left(t^2\right)^'\cdot\left(\tan x\right)^' = -1\cdot u^{-2}\left(-\sin x\right)-2t\cdot\frac{1}{\cos^2x} = \frac{\sin x}{\cos^2x}-\frac{2\tan x}{\cos^2x} = \frac{\sin x-2\tan x}{\cos^2x}.

Ülesanded B

Ülesanne 863. Funktsiooni tuletis

y=6\sin x
y' =

y=-5\sin x
y' =

y=4,3\sin x
y' =

y=\frac{1}{\sin x}
y' =

y=\frac{\sin x}{1+\sin x}
y' =

y=x^3\sin x
y' =

y=\frac{\sin2x}{\cos x}
y' =

y=\sin^2x
y' =

y=6x^4+\sin x
y' =

y=0,4\cos x
y' =

y=-3\cos x
y' =

y=x\cos x
y' =

y=\frac{1}{\cos x}
y' =

y=\cos^2x
y' =

y=\sqrt{\cos x}
y' =

y=\cos\left(-x\right)
y' =

y=\cos4x
y' =

y=\cos\sqrt{x}
y' =

Ülesanne 864. Funktsiooni tuletis

y=\frac{\cos x}{\sin x}
y' =

y=\cos2x
y' =

y=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x}
y' =

y=\left(2+\cos x\right)^2
y' =

y=\left(\sin x+\cos x\right)^2
y' =

y=5\sin x+3\cos x
y' =

Ülesanne 865. Funktsiooni tuletis

y=5\tan x
y' =

y=-9\tan x
y' =

y=x\tan x
y' =

y=\frac{\tan x}{1+\tan x}
y' =

y=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}
y' =

y=\frac{1}{\tan x}
y' =

y=\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)
y' =

y=\tan\frac{x}{2}
y' =

y=\tan8x
y' =

Ülesanne 866. Funktsiooni tuletis

y=\sin x\tan x
y' =

y=\sin x\left(\cos x-1\right)
y' =

y=\tan2x
y' =

y=\cos x\left(\sin x+\tan x\right)
y' =

Ülesanne 867. Funktsiooni tuletise väärtus

f'\left(\frac{\pi}{4}\right), kuiy=5\sin x
f'\left(x\right) =
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) =

f'\left(0\right), kuiy=\frac{1}{\cos x}
f'\left(x\right) =
f'\left(0\right) =

f'\left(-\frac{\pi}{6}\right), kuiy=\sin2x
f'\left(x\right) =
f'\left(-\frac{\pi}{6}\right) =

f'\left(-\frac{\pi}{3}\right), kuiy=\tan x
f'\left(x\right) =
f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) =

Ülesanne 868. Funktsiooni graafiku puutuja tõus, tõusunurk ja võrrand

Vastus. k = , α = , y = .

Ülesanne 869. Funktsiooni tuletis

Vastus. (cot x)' =

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

More like this

Ülesanded B

Ülesanne 863. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 864. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 865. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 866. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 867. Funktsiooni tuletise väärtus

Ülesanne 868. Funktsiooni graafiku puutuja tõus, tõusunurk ja võrrand

Ülesanne 869. Funktsiooni tuletis

More like this

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

More like this

Ülesanded B

Ülesanne 863. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 864. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 865. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 866. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 867. Funktsiooni tuletise väärtus

Ülesanne 868. Funktsiooni graafiku puutuja tõus, tõusu­nurk ja võrrand

Ülesanne 869. Funktsiooni tuletis

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies

Ülesanne 868. Funktsiooni graafiku puutuja tõus, tõusunurk ja võrrand